LG2375 [NOI2014]动物园

动物园

给定一个长为\(L\)的字符串(\(L \leq 1e6\))

求一个\(num\)数组，\(num[i]\)表示长度为\(i\)的前缀中字符串\(S’\)的数量，其中\(S‘\)既是该前缀的前缀也是该前缀的后缀，且\(2|S'| \leq i\)

分析

用kmp算法，\(num[i]\)其实就是\(i\)在\(f\)中跳，值小于\(i/2\)的个数。然而直接这样求是\(O(n^2)\)的，因为可以造一个全a串，然后\(f\)都是前一个\(f\)加\(1\).

kmp的精髓是继承，那这道题可否继承？显然可以。

对于\(i\)位置满足条件的\(S’\)，\(i+1\)位置满足条件的\(S’’\)其实是在S’的基础上至多多了一个字符。

先求出不加限制的\(num\)数组，注意到对于\(i\)它的\(num\)至少为\(1\)因为要考虑它本身。然后\(num[0]\)要赋成0，因为后面计算的时候转移到0肯定是无法匹配，值应该为\(1\)，并且\(num[0]\)是肯定不会算入答案的。然后求答案时维护\(j\)不超过\(i\)的一半就行了。

时间复杂度\(O(n)\)。

har s[1000010];
int f[1000010];
int num[1000010];

int main()
{
	int T;
	read(T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",s);
		int n=strlen(s);
		f[0]=0,f[1]=0;
		num[0]=0,num[1]=1; // 不加限制的num数组
		int j=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			while(j&&s[i]!=s[j])
				j=f[j];
			j+=(s[i]==s[j]);
			f[i+1]=j,num[i+1]=num[j]+1; // 值要加1是因为它本身也要计算
		}
		j=0;
		int ans=1;
		for(int i=0;i<n;++i)
		{
			while(j&&s[i]!=s[j])
				j=f[j];
			j+=(s[i]==s[j]);
			while((j<<1)>(i+1))
				j=f[j];
			ans=(ll)ans*(num[j]+1)%mod;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
    return 0;
}

Hint

其实我觉得这样写虽然很简洁，但是细节较多，不推荐。推荐另一种倍增的写法，把fail数组加一个倍增，这样更直观，但是时间复杂度\(O(n\log n)\).