LG3953 逛公园

题意

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张\(N\)个点\(M\)条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口，\(N\)号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从\(1\)号点进去，从\(N\)号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果\(1\)号点 到\(N\)号点的最短路长为\(d\)，那么策策只会喜欢长度不超过\(d+K\)的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对\(P\)取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出\(-1\)。

\(N \leq 100000,M \leq 200000,K \leq 50\)

分析

考虑dp。用\(f(x,lim)\)表示从x到n的路径长不超过dis(x,n)+lim的路径条数。

求出最短路后，就可以dfs求解，为了处理环的情况传进两个参数x和lim。

反向建图跑最短路可以优秀卡常，并且若跑完最短路后距离仍为INF就可以剪枝。

然后是无解的情况，如果有0环则有无数解。方法是SPFA或者dfs记录状态，若从某状态再次搜到相同的状态则肯定有0环。SPFA可能被卡，所以采用Dijkstra+dfs判0环的方法。

时间复杂度\(O(K M)\)

代码

dfs

中规中矩的记忆化搜索，是绝对的首选。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cassert>
#include<stack>
#include<vector>
template<class T>T read(T&x)
{
	T data=0;
	int w=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		data=data*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;

const int MAXN=1e5+7,MAXM=2e5+7,MAXK=60;
int n,m,k,mod;

vector <pii> g1[MAXN],g2[MAXN];

void init()
{
	read(n);read(m);read(k);read(mod);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		g1[i].clear();
		g2[i].clear();
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x,y,w;
		read(x);read(y);read(w);
		g1[x].push_back(pii(y,w));
		g2[y].push_back(pii(x,w));
	}
}

int dis[MAXN];

void Dijkstra(int s)
{
	fill(dis+1,dis+n+1,INF);
	dis[s]=0;
	priority_queue <pii> H;
	H.push(pii(-dis[s],s));
	while(H.size())
	{
		int x=H.top().second,d=-H.top().first;
		H.pop();
		if(d>dis[x])
			continue;
		for(int i=0;i<g2[x].size();++i)
		{
			int y=g2[x][i].first,w=g2[x][i].second;
			if(dis[y]>dis[x]+w)
			{
				dis[y]=dis[x]+w;
				H.push(pii(-dis[y],y));
			}
		}
	}
}

int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	return x>=mod?x-mod:x;
}

bool vis[MAXN][MAXK];
bool ins[MAXN][MAXK];
int f[MAXN][MAXK];

int dfs(int x,int lim)
{
//	cerr<<"dfs "<<x<<" "<<lim<<endl;
	if(vis[x][lim])
		return f[x][lim];
	if(ins[x][lim])
		return -1;
	ins[x][lim]=1;
	int&ans=f[x][lim]=(x==n);
	for(int i=0;i<g1[x].size();++i)
	{
		int y=g1[x][i].first,w=g1[x][i].second;
		if(dis[y]==INF)
			continue;
		int delta=dis[y]+w-dis[x];
		if(delta>lim)
			continue;
		int t=dfs(y,lim-delta);
		if(t==-1)
			return -1;
		ans=add(ans,t);
	}
	vis[x][lim]=1;
	ins[x][lim]=0;
	return ans;
}

int main()
{
	freopen("park.in","r",stdin);
	freopen("park.out","w",stdout);
//	freopen("park.err","w",stderr);
	int T;
	read(T);
	while(T--)
	{
		init();
		Dijkstra(n);
//		cerr<<"dis="<<endl;
//		for(int i=1;i<=n;++i)
//			cerr<<i<<" d="<<dis[i]<<endl;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			fill(vis[i],vis[i]+k+1,0);
			fill(ins[i],ins[i]+k+1,0);
		}
		printf("%d\n",dfs(1,k));
	}
	return 0;
}

SPFA

要是用SPFA就要有信仰了，不可能入队n次才判0环，不然肯定TLE。

于是我逐渐去试，发现如果设成10会WA，设成11刚好能AC。出题人根本就没造网格图，但考试的时候谁又知道呢？

然后就跑得飞快。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
template<class T>T read(T&x)
{
	T data=0;
	int w=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		data=data*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;

const int MAXN=1e5+7,MAXM=2e5+7,MAXK=60;
int n,m,k,mod;

struct edge // g2
{
	int nx,to,w;
}e[MAXM];
int head[MAXN],ecnt;
vector <pii> g[MAXN]; // g1

void addedge(int x,int y,int w)
{
	e[++ecnt].to=y,e[ecnt].w=w;
	e[ecnt].nx=head[x],head[x]=ecnt;
}

void init()
{
	read(n);read(m);read(k);read(mod);
	ecnt=0;
	fill(head+1,head+n+1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		g[i].clear();
	for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int x,y,w;
			read(x);read(y);read(w);
			addedge(y,x,w);
			g[x].push_back(pii(y,w));
		}
}

bool inq[MAXN];
int cnt[MAXN];
int dis[MAXN];

bool SPFA(int s)
{
	fill(inq+1,inq+n+1,0);
	fill(cnt+1,cnt+n+1,0);
	fill(dis+1,dis+n+1,INF);
	dis[s]=0;
	queue<int>Q;
	Q.push(s);
	inq[s]=1;
	++cnt[s];
	while(Q.size())
	{
		int x=Q.front();
		Q.pop();
		inq[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nx)
		{
			int y=e[i].to,w=e[i].w;
			if(dis[y]>=dis[x]+w)
			{
				dis[y]=dis[x]+w;
				if(!inq[y])
				{
					Q.push(y);
					inq[y]=1;
					if(++cnt[y]>=11) // 0 circle
						return 0;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}

int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	return x>=mod?x-mod:x;
}

bool vis[MAXN][MAXK];
int f[MAXN][MAXK];

int dfs(int x,int lim)
{
//	cerr<<"dfsing "<<x<<" lim="<<lim<<endl;
	if(lim<0)
		return 0;
	if(vis[x][lim])
		return f[x][lim];
	int&ans=f[x][lim]=(x==n);
	for(int i=0;i<g[x].size();++i)
	{
		int y=g[x][i].first,w=g[x][i].second;
		if(!cnt[y]) // not accessible to n
			continue;
		int delta=dis[y]+w-dis[x];
		ans=add(ans,dfs(y,lim-delta));
	}
	vis[x][lim]=1;
//	cerr<<" ans="<<ans<<endl;
	return ans;
}

int main()
{
	freopen("park.in","r",stdin);
	freopen("park.out","w",stdout);
//	freopen("park.err","w",stderr);
	int T;
	read(T);
	while(T--)
	{
		init();
		if(!SPFA(n)) // 0 circle
		{
			puts("-1");
			continue;
		}
//		cerr<<"dis="<<endl;
//		for(int i=1;i<=n;++i)
//			cerr<<i<<" d="<<dis[i]<<endl;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			fill(vis[i],vis[i]+k+1,0);
		printf("%d\n",dfs(1,k));
	}
	return 0;
}

Hint

注意数组范围。