ACM International Collegiate Programming Contest World Finals 2014

A - Baggage

题目描述：有$2n$个字符摆在编号为$1$~$2n$格子里，奇数位为$B$，偶数位为$A$，另外编号为$(-2n+1)$~$0$的格子是空的，现在可以移动两个相邻的字符，移动到两个空的格子里，最终使得全部$A$在全部$B$的左边，而且字符都是连续的，但不必放回原位，输出最小步数的方案。

solution
显然，最小操作为$n$步。
假设$n=8$，
__BABABABABABABABA

ABBABABABABABAB__A

ABBA__BABABABABBAA

ABBA|__BABABABA|BBAA

如果存在一种方案使得中间字变成下面的模样，即两个空位跑到了最后
ABBA|AAAABBBB__|BBAA

A__AAAAABBBBBBBBAA

AAAAAAAABBBBBBBB__

最后两位也是空位。四步解决八个字符（四个$A$，四个$B$），也就是可以递归求解方案。

但要特殊处理$n=3, 4, 5, 6, 7$的方案，因为这几个的操作比较特殊，最优操作并不是上述的操作，这几个特殊的可以暴搜出来。

时间复杂度：$O(n)$

B - Buffed Buffet

题目描述：有$n$道菜，这$n$道菜可以分成两类，第一类是以整数为计量，即一道这样的菜有一个固定的重量$\omega_i$，若这道菜点了$m$道，则第$j$道的美味值为$t_i-j\Delta t$；第二类是以小数为计量，即这道菜可以取任意一个重量$X$，则这道菜的美味值为$\int_{0}^{X} (t_i-x\Delta t) dt$。问在菜的总质量为$W$的情况下，美味值最大是多少。

solution
先解决第一类的菜。
这看起来像一个普通的背包，但直接$O(nW^2)$会超时。可以考虑将菜按重量分类，重量相同的菜各自算出第$j$道菜的美味值，因为这些菜的重量是相同的，所以取（相同重量的菜）算出来的美味值的前$W$个即可。这样归类之后，最多有$n$种重量不同的菜，所以背包的时间复杂度为$O(\sum_{w=1}^{W} wlnn)=O(\frac{1}{2}W^2lnn)$
然后解决第二类菜。
枚举第一类菜的总重量$wf$，剩下的重量由第二类的菜来承担。
因为是重量是连续的，考虑用拉格朗日乘数法。设每种菜的重量为$x_i$，
约束函数
\[g(x_i)=\sum x_i-(W-wf)=0\]
目标函数为
\[f(x_i)=\sum \frac{1}{2}(2t_i-x_i\Delta t)x_i\]
设函数
\[F(x_i)=f(x_i)-\lambda g(x_i)\]
求解得
\[x_i=\frac{t_i-\lambda }{\Delta t}\]
但因为$x_i \geq 0$，所以选择用二分的方法来求解$\lambda$，在这里$\lambda$有一个特殊的几何意义：每道菜只取美味函数（美味值的被积函数）大于等于$\lambda$的部分，若某道菜的$t_i<\lambda$，则$x_i=0$。$\lambda$越小，$g(x_i)$越能满足。
但有一类特殊的菜需要注意，就是$\Delta t=0$的菜，这些菜的美味函数是一个常数函数，这些菜不能用上面的方法来求解（因为$\Delta t$在$x_i$的分母）。显然，这类菜只需考虑$t_i$最大值（$con$）即可，当$\lambda > con$时，就不必选这道菜了，否则$\lambda < con$的部分可以用这道菜来补充，所以可以令$\lambda =con$，算出$\sum x_i, (W-wf)-\sum x_i$的部分由$con$来补充，更新答案。

如图$cut$表示$con>\lambda$的情况，此时菜只选到$cut$就好，剩余的部分可由$con$补充，这样美味值就能增加黄色部分。

时间复杂度：$O(W^2lnn+Wnlog(2*10^{16}))，2*10^{16}=2*10^8*10^8$，前一个$2*10^8$表示$\lambda$的范围，后一个$10^8$表示精度范围。

C - Crane Balancing

题目描述：给出一个在二维平面上的多边形，在平面上$1 \times 1$的正方形的重量为$1$，现在在多边形上指定一个顶点，在这个顶点上放一定质量的物体（无体积），满足多边形不向两边倒，问物体质量的范围，或无论质量是多少都会倒（unstable)

solution
将多边形剖分成很多个三角形，有向面积就是有向重量，然后求出三角形的质心（坐标平均），然后求出这些质点的质心，这个质心就是多边形的质心。找出多边形在$y$轴上的点，只有最左边和最右边的点才可能成为支点。多边形的质心与指定顶点构成的新质心的$x$坐标一定要在这两个支点之间，多边形才不会倒。
所以分类判断多边形的质心是否在两个支点之间，再根据指定的顶点再分类讨论，注意讨论指定顶点的$x$坐标是否在支点上。

时间复杂度：$O(n)$

D - Game Strategy

题目描述：有$n$个点，每个点有若干个集合(总共有$m$个)。有两个人在玩游戏，一开始指针在某一个点，第一个人这个点的一个集合，第二人选择这个集合内的一个点，然后指针移向那个点。分别求出从每个点出发，其它点能否到达，如果能则输出最小步数，否则输出$-1$。（第二个人是阻止第一个人的）

solution
显然如果能到达某个点，则最小步数不超过$n$，所以可以一步一步地走。显然答案是最长路径，然后暴力搜就好了。

时间复杂度：$O(n^2m)$

I - Sensor Network

题目描述：求一个无向图的最大团。

solution
随机一种$n$排列，然后按排列顺序构最大团。

时间复杂度：$O(n^2*10000)$

K - Surveillance

题目描述：给出$n$个数对$(a, b)$，如果$a \leq b$，则表示区间$[a, b]$，如果$a>b$，则表示区间$[1, b], [a, m]$，问最少需要多少个数对覆盖$[1, m]$。

solution
将区间延长至$[1, 2m]$，则一个数对对应一个区间。那么问题变成最少区间覆盖一个长度至少为$m$的连续区间。
将区间按右端点排序，然后倍增求出一个区间$i$出发向左利用$2^j$个区间最左能到哪个区间，以及最长能覆盖多长的区间。然后再倍增求答案即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$