【HDU 6021】 MG loves string （枚举+容斥原理）

MG loves string

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问题描述

MG是一个很忙碌的男孩子。今天他沉迷于这样一个问题：

对于一个长度为N的由小写英文字母构成的随机字符串，当它进行一次变换，所有字符i都会变成a[i]。

MG规定所有a[i]构成了26个字母组成的排列。

MG现在需要知道这个随机串变换到自身的期望变换次数。请你输出期望答案乘上26^n以后模 1000000007的结果。

MG认为这件事非常容易，不屑于用计算机解决，于是运用他高超的人类智慧开始进行计算。作为一名旁观者，你也想挑战MG智慧，请你写个程序，计算答案。

输入描述

第一行一个整数T，代表数据组数（1 <=T<=10）。

接下来，对于每组数据——

第一行一个整数N，表示给定的随机串长度（1<=N<=1000000000）。

第二行26个字母，表示a_i​​序列

输出描述

对于每一组数据，输出一行。

显然，这个期望是一个实数。请你输出它乘上26^N​​以后模 1000000007 的结果

输入样例

2
2
abcdefghijklmnpqrstuvwxyzo
1
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

输出样例

5956
26

 

【分析】

　　感觉BC的题挺好的啊【每次都能学到东西。。

　　首先，知道，这是个带LCM的期望。就是看随机串分别在长度为几的循环节里面，然后LCM。

　　然后，不同长度的循环节不会超过6个，1+2+3+4+5+6=21。

　　就是根据输入的那个串，只会有6种长度的循环节，所以你可以枚举真正的随机串涵盖的循环节有哪几个，枚举是2^6。

　　然后就是把n个字符放到那些循环节的字母集合中去，但是要保证每个循环节都一定有一个字母覆盖，问它的方案数。

　　其实这是经典的容斥原理，就是n个东西分到m个集合，让每个集合都至少有一个东西。

　　这里我们枚举子集就可以用容斥原理计算出来了【注意容斥，你要减掉的是没有涵盖某一个集合的，加上没有涵盖两个集合的。。。】

　　枚举子集是3^n（用二项式定理易证）

　　这个可以预处理的。

　　所以是$O(2^6*\log(n)+3^6)$

官方题解：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Mod 1000000007
 #define LL long long

 int u[],v[],pp[],n;
 LL sm[];
 int h[],ss[],p[];
 char s[];
 bool vis[];

 LL qpow(LL x,int b)
 {
     x%=Mod;
     LL ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans*x)%Mod;
         x=(x*x)%Mod;
         b>>=;
     }
     return ans;
 }

 void init()
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(p,,sizeof(p));
     memset(h,,sizeof(h));
     memset(ss,,sizeof(ss));
     scanf("%d",&n);
     scanf("%s",s+);
     for(int i=;i<=;i++) u[i]=s[i]-'a'+;
     for(int i=;i<=;i++) if(!vis[i])
     {
         vis[i]=;
         int x=i,cnt=;
         while(u[x]!=i) x=u[x],cnt++,vis[x]=;
         p[cnt]++;
     }
     v[]=;
     for(int i=;i<=;i++) if(p[i]) v[++v[]]=i,pp[v[]]=p[i];
     for(int i=;i<(<<v[]);i++)
      for(int j=;j<=;j++) if(i&(<<j-)) ss[i]+=v[j]*pp[j],h[i]++;
     for(int i=;i<(<<v[]);i++) sm[i]=qpow(ss[i],n);sm[]=;
     int i;
     // for(i=0;i<(1<<v[0]);i++)
     for(i=(<<v[])-;i>=;i--)
      for(int j=i;j;j=(j-)&i)
      {
          if(i==j) continue;
          if((h[i]-h[j])%==) sm[i]+=sm[j];
          else sm[i]-=sm[j];
          sm[i]=(sm[i]%Mod+Mod)%Mod;
      }
 }

 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     if(b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 LL ans;

 void ffind(int x,int y,LL nw)
 {
     if(x==v[]+)
     {
         ans=(ans+sm[y]*nw)%Mod;
         return;
     }
     ffind(x+,y,nw);
     ffind(x+,y|(<<x-),nw*(LL)v[x]/gcd(nw,v[x]));
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         init();
         ans=;ffind(,,);
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

2017-04-02 10:41:18