$bzoj1019-SHOI2008$ 汉诺塔 $dp$

• 题面描述

  • 汉诺塔由三根柱子（分别用\(A\ B\ C\)表示）和\(n\)个大小互不相同的空心盘子组成。一开始\(n\)个盘子都摞在柱子\(A\)上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

    

    对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，\(AB\)就是把柱子\(A\)最上面的那个盘子移到柱子\(B\)。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子\(A\)移动到柱子\(B\)或柱子\(C\)上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作\((AB,AC,BA,BC,CA,CB)\)赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子\(A\)移动到另一根柱子：

    • 这种操作是所有合法操作中优先级最高的；

    • 这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。

    可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

• 输入格式

  • 输入有两行。第一行为一个整数\(n\ (1\leq n\leq 30)\)，代表盘子的个数。第二行是一串大写的\(ABC\)字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

• 输出格式

  • 只需输出一个数，这个数表示移动的次数，保证答案\(\leq 10^{18}\)

• 题解

  • 首先当所有可能的操作都被赋予优先级，并且限制相邻两次操作不能移同一个对象，因此该汉诺塔的移动序列已经被固定。

  • 我们要做的就从最优化变成了合并操作序列中相同的部分，加速计算效率

  • 类比普通的汉诺塔问题，不难发现在移盘子的时候总会不时出现将\(1,.., x\)个盘子以同一个操作序列从某个地方移到某个地方。

  • 令三根柱子分别叫\(x,y,z\)

  • 是这个启发，我们可以设计出如下状态：

    • \(f[i][x][y]\)表示\(1,..,i\)个盘子从\(x\)移到\(y\)所需的步数
    • 特别的，当\(f[i][x][y]==-1\)时表示\(1,..,i\)个盘子从\(x\)移到\(y\)不合法

  • 这样我们可以写出转移方程

    • \[f_{i,x,y}=f_{i-1,x,y}+1+f_{i-1,y,x}+1+f_{i-1,x,y}\\
      或\\
      f_{i,x,y}=f_{i-1,x,z}+1+f_{i-1,z,y}
      \]

    • 注意到当\(1,..,i-1\)个盘子没有移完的时候，我们是不可能去移第\(i\)个盘子的

      • 分两种情况
        • 一，还有一些盘子在第\(i\)个盘子上，那我们不可能移动第\(i\)个盘子
        • 二，第\(i\)个盘子上已经没有盘子了，又分两种情况
          • \(1,..,i-1\)个盘子在同一根柱子，那么这时候我们称这\(i-1\)个盘子已经移好了，与假设不符
          • \(1,..,i-1\)个盘子不在同一根柱子，那么我们不能移第\(i\)个盘子，因为如果能够移动第\(i\)个盘子，移动到的柱子上已没有比\(i\)小的盘子，但此时两根柱子都有\(1,..,i-1\)中的某一些盘子

    • 也就是说，我们必须把\(1,..,i-1\)个盘子移好再移第\(i\)个盘子

    • 故第一个递推方程表示

      • 当\(1,..,i-1\)个盘子从\(x\)移到\(y\)合法，且\(1,..,i-1\)个盘子从\(y\)移到\(x\)合法时，
        • 我们先将\(1,..,i-1\)个盘子从\(x\)移到\(y\)，花费\(f_{i-1,x,y}\)步。
        • 因为相邻两次操作对象不能相同，我们只能将第\(i\)个盘子从\(x\)移到\(z\)，花费\(1​\)步。
        • 因为相邻两次操作对象不能相同，我们只能移\(1,..,i-1\)盘子，同时我们不能把这\(1,..,i-1\)盘子移到第\(i\)个盘子所在的\(z\)柱子，因为如此一来，我们在下一步又只能移\(1,..,i-1\)盘子，这是不合法的。因此我们只能把\(1,..,i-1\)盘子移到\(x\)柱子，花费\(f_{i-1,y,x}\)步
        • 因为相邻两次操作对象不能相同，我们只能将第\(i\)个盘子从\(x\)移到\(y\)，花费\(1\)步。
        • 最后我们将\(1,..,i-1\)移回\(y\)，花费\(f_{i-1,x,y}\)步

    • 第二个递推方程表示

      • 当\(1,..,i-1\)盘子从\(x\)移到\(z\)合法，且\(1,..,i-1\)盘子从\(z\)移到\(y\)；合法时，
        • 我们将\(1,..,i-1\)盘子从\(x\)移到\(z\)，花费\(f_{i-1,x,z}\)步
        • 因为相邻两次操作对象不能相同，我们只能将第\(i\)个盘子从\(x\)移到\(y\)，花费\(1\)步。
        • 最后我们将\(1,..,i-1\)盘子从\(z\)移回\(y\)，花费\(f_{i-1,z,y}\)步

  • 同时因为操作的优先级，我们不难发现这两个递推是不可能同时成立，但有可能同时不成立。因此当这两个递推式同时不成立时\(f_{i,x,y}=-1\)

  • 关于边界条件，根据题目给出的操作优先级确定

    • 例如：从\(x\)向其他柱子移动的操作优先级为\(xy>xz\)，因此\(f_{1,x,y}=1,f_{1,x,z}=-1\)

  • 如此递推即可

  • 网上好多博客一本正经地说了一个奇怪的\(dp\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=55;
typedef long long ll;
ll f[MAXN][4][4];
int n;
char s[10][4];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=6;i++) scanf("%s",s[i]);
	for (int i=0;i<3;i++){
		f[1][i][0]=f[1][i][1]=f[1][i][2]=-1;
		for (int j=1;j<=6;j++){
			if (s[j][0]-'A'==i){
				int to=s[j][1]-'A';
				f[1][i][to]=1;
				break;
			}
		}
	}
	for (int i=2;i<=n;i++){
		for (int j=0;j<3;j++){
			for (int k=0;k<3;k++){
				int l=3-j-k;
				f[i][j][k]=-1;
				if (f[i-1][j][k]!=-1&&f[i-1][k][j]!=-1){
					f[i][j][k]=f[i-1][j][k]*2+2+f[i-1][k][j];
				}
				if (f[i-1][j][l]!=-1&&f[i-1][l][k]!=-1){
					f[i][j][k]=f[i-1][j][l]+1+f[i-1][l][k];
				}
//				cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<" "<<f[i][j][k]<<endl;
			}
		}
	}
	if (f[n][0][1]!=-1) printf("%lld\n",f[n][0][1]);
	else printf("%lld\n",f[n][0][2]);
	return 0;
}