【UOJ453】【集训队作业2018】围绕着我们的圆环 线性基 DP

题目大意

　　有一个 \(n\times k\) 的 01矩阵 \(C\)，求有多少个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(m\times k\) 的矩阵 \(B\)，满足 \(A\times B=C\)。系数对 \(2\) 取模。

　　还有 \(q\) 次操作，每次会修改 \(C\) 中一行的值。

　　要对每次修改后的矩阵计算答案。

　　\(n,m,k,q\leq 1000\)。

题解

　　可以发现，答案只跟 \(C\) 的秩有关。因为如果我们对 \(C\) 做行变换或列变换，那么就可以对 \(A\) 或 \(B\) 做同样的行变换或列变换，使得等式依然成立。

　　记 \(C\) 的秩为 \(r\)。

　　记 \(C_i\) 表示 \(C\) 的列向量，\(A_i\) 表示 \(A\) 的列向量。

　　我们先枚举矩阵 \(A\)，对于每个 \(C_i\)，它都是由若干个 \(A_j\) 异或得到的，系数为 \(B_{j,i}\)。

　　只有所有 \(C_i\) 都在 \(A_j\) 生成的线性空间中时，才有合法的 \(B\)。

　　若 \(A\) 的秩为 \(x\)，那么 \(B\) 方案数就有 \(2^{k(m-x)}\) 种。

　　我们先对所有秩为 \(r\) 的矩阵统计方案数，再除以秩为 \(r\) 的矩阵个数即可。

　　枚举 \(A\) 的秩 \(x\)，那么合法的 \(C\) 的每个列向量都可以由 \(A\) 的列向量组合而成，可以写成一个 \(k\times x\) 的矩阵，且这个矩阵的秩为 \(r\)。

　　记 \(f_{i,j}\) 表示 \(n\times i\) 的秩为 \(j\) 的矩阵个数，\(p_{i,j}\) 表示 \(k\times i\) 的秩为 \(j\) 的矩阵个数，那么对答案的贡献就是 \(f_{m,x}g_{x,r}2^{k(m-x)}\)。

　　最后把答案除以 \(f_{k,r}\) 即可。

　　先预处理出 \(f,g\)，就可以在 \(O(n)\) 内回答一次询问。

　　现在我们还要求 \(C\) 的秩 \(r\)。

　　对于线性基中的每个向量和所有 \(0\) 向量维护这个向量是由哪些向量异或得到的。

　　在删除一个向量 \(x\) 时，找到一个包含 \(x\) 的 \(0\) 向量，如果没有就找线性基里位最低的包含 \(x\) 的向量，把这个向量的信息异或到其他包含 \(x\) 的向量的信息中即可。这样在删除时不会影响线性基中更高位的向量。

　　时间复杂度：\(O(\frac{(n+q)n^2}{w})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
#include<bitset>
using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const ll p=1000000007;
const int N=1010;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
typedef bitset<N> orzzjt;
typedef pair<orzzjt,orzzjt> zjtakioi2019;
ll pw[N*N];
ll f[N][N],g[N][N];
void add(ll &a,ll b)
{
	a=(a+b)%p;
}
int n,m,k;
ll solve(int x)
{
	ll res=0;
	for(int i=x;i<=n&&i<=m;i++)
		res=(res+f[m][i]*g[i][x]%p*pw[k*(m-i)])%p;
	res=res*fp(f[m][x],p-2)%p;
	res=(res%p+p)%p;
	return res;
}
ll e[N];
void init()
{
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=1000000;i++)
		pw[i]=pw[i-1]*2%p;
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<1000;i++)
		for(int j=0;j<=i&&j<=n;j++)
			if(f[i][j])
			{
				add(f[i+1][j],f[i][j]*pw[j]);
				add(f[i+1][j+1],f[i][j]*(pw[n]-pw[j]));
			}
	g[0][0]=1;
	for(int i=0;i<1000;i++)
		for(int j=0;j<=i&&j<=k;j++)
			if(g[i][j])
			{
				add(g[i+1][j],g[i][j]*pw[j]);
				add(g[i+1][j+1],g[i][j]*(pw[k]-pw[j]));
			}
	for(int i=0;i<=n&&i<=k;i++)
		e[i]=solve(i);
}
zjtakioi2019 a[N];
orzzjt b[N];
int t;
int r;
void insert(orzzjt x,int v)
{
	orzzjt y;
	y.set(v);
	for(int i=1000;i>=1;i--)
		if(x[i])
		{
			if(!a[i].first.any())
			{
				a[i].first=x;
				a[i].second=y;
				r++;
				return;
			}
			x^=a[i].first;
			y^=a[i].second;
		}
	t++;
	b[t]=y;
}
void erase(int x)
{
	for(int i=1;i<=t;i++)
		if(b[i][x])
		{
			swap(b[i],b[t]);
			t--;
			for(int j=1;j<=1000;j++)
				if(a[j].second[x])
					a[j].second^=b[t+1];
			for(int j=1;j<=t;j++)
				if(b[j][x])
					b[j]^=b[t+1];
			return;
		}
	for(int i=1;i<=1000;i++)
		if(a[i].second[x])
		{
			for(int j=i+1;j<=1000;j++)
				if(a[j].second[x])
				{
					a[j].first^=a[i].first;
					a[j].second^=a[i].second;
				}
			a[i].first=a[i].second=orzzjt();
			r--;
			return;
		}
}
int main()
{
	open("c");
	int q,type;
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q,&type);
	init();
	int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		orzzjt s;
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(x)
				s.set(j);
		}
		insert(s,i);
	}
	ll ans=e[r];
	printf("%lld\n",ans);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		x^=type*ans;
		erase(x);
		orzzjt s;
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			scanf("%d",&y);
			if(y)
				s.set(j);
		}
		insert(s,x);
		ans=e[r];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}