bzoj 3924: [Zjoi2015]幻想乡战略游戏

Description

傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏，本来这个游戏的地图其实还不算太大，幽香还能管得过来，但是不知道为什么现在的网游厂商把游戏的地图越做越大，以至于幽香一眼根本看不过来，更别说和别人打仗了。

在打仗之前，幽香现在面临一个非常基本的管理问题需要解决。 整个地图是一个树结构，一共有n块空地，这些空地被n-1条带权边连接起来，使得每两个点之间有一条唯一的路径将它们连接起来。

在游戏中，幽香可能在空地上增加或者减少一些军队。同时，幽香可以在一个空地上放置一个补给站。 如果补给站在点u上，并且空地v上有dv个单位的军队，那么幽香每天就要花费dvdist(u,v)的金钱来补给这些军队。

由于幽香需要补给所有的军队，因此幽香总共就要花费为Sigma(Dvdist(u，v),其中1<=V<=N)的代价。其中dist(u,v)表示u个v在树上的距离（唯一路径的权和）。

因为游戏的规定，幽香只能选择一个空地作为补给站。在游戏的过程中，幽香可能会在某些空地上制造一些军队，也可能会减少某些空地上的军队，进行了这样的操作以后，出于经济上的考虑，幽香往往可以移动他的补给站从而省一些钱。

但是由于这个游戏的地图是在太大了，幽香无法轻易的进行最优的安排，你能帮帮她吗？ 你可以假定一开始所有空地上都没有军队。

Solution

正解：动态点分

基于本题性质：度数不超过20，否则不能这么做

问题是要求一个带权重心，我们可以移动重心找到最小的一个，关键在于计算贡献是 \(O(n)\) 的.

建立重心树，我们可以\(logn\)的算出建立在当前点的代价

设 \(dis[x]\) 表示x所在的块到x的距离\(dis*dv\)之和,\(disf[x]\)表示x所在的块到x的重心树上的父亲距离\(L*dv\)的距离之和，\(w[x]\) 为x块内的\(dv\)之和

那么遍历父亲就可以算出代价了，考虑两个块贡献合并：u为计算的点，设x为儿子，v为父亲，合并的贡献为：\(dis[v]+(val[v]-val[x])*L(v,u)-disf[x]\)

意思是不含\(x\)的块到\(v\)的点的距离之和，加上不含\(x\)所在块的部分到 \(u\) 的距离

重心的移动就是判断某个儿子是否是最优的，如果是，就进入这一个块中.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;
int head[N],nxt[N<<2],to[N<<2],num=0,c[N<<2],n,m,Head[N];
inline void link(int x,int y,int z){
	nxt[++num]=head[x];to[num]=y;c[num]=z;head[x]=num;}
namespace tr{
	int dep[N],sz[N],son[N],fa[N],top[N],dis[N];
	inline void dfs1(int x){
		sz[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int u=to[i];if(dep[u])continue;
			dep[u]=dep[x]+1;dis[u]=dis[x]+c[i];fa[u]=x;dfs1(u);
			sz[x]+=sz[u];if(sz[u]>sz[son[x]])son[x]=u;
		}
	}
	inline void dfs2(int x,int tp){
		top[x]=tp;
		if(son[x])dfs2(son[x],tp);
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
			if(to[i]!=fa[x] && to[i]!=son[x])dfs2(to[i],to[i]);
	}
	inline int lca(int x,int y){
		while(top[x]!=top[y]){
			if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
			x=fa[top[x]];
		}return dep[x]<dep[y]?x:y;
	}
	inline int getdis(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-(dis[lca(x,y)]<<1);}
	void main(){dep[1]=1;dfs1(1);dfs2(1,1);}
}
int rt=0,sz[N],son[N]={N},sum,S,fa[N];bool vis[N];
inline void link2(int x,int y,int v){
	nxt[++num]=Head[x];to[num]=y;Head[x]=num;c[num]=v;}
inline void getroot(int x,int last){
	sz[x]=1;son[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];
		if(u==last || vis[u])continue;
		getroot(u,x);sz[x]+=sz[u];
		son[x]=max(son[x],sz[u]);
	}
	son[x]=max(son[x],sum-sz[x]);
	if(son[x]<son[rt])rt=x;
}
inline void solve(int x){
	vis[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];if(vis[u])continue;
		rt=0;sum=sz[u];getroot(u,x);link2(x,rt,to[i]);fa[rt]=x;
		solve(rt);
	}
}
ll val[N],dis[N],disf[N];
inline void Modify(int x,int y){
	for(int v=x;v;v=fa[v]){
		val[v]+=y;
		dis[v]+=1ll*y*tr::getdis(x,v);
		if(fa[v])disf[v]+=1ll*y*tr::getdis(x,fa[v]);
	}
}
inline ll ask(int x){
	ll ret=dis[x];int v=x;
	while(fa[v]){
		ret+=dis[fa[v]]+(val[fa[v]]-val[v])*tr::getdis(fa[v],x)-disf[v];
		v=fa[v];
	}
	return ret;
}
inline ll qry(int x){
	ll ret=ask(x);
	for(int i=Head[x];i;i=nxt[i])
		if(ask(c[i])<ret)return qry(to[i]);
	return ret;
}
void work()
{
	int x,y,z;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		link(x,y,z);link(y,x,z);
	}
	tr::main();
	sum=n;rt=0;getroot(1,1);solve(S=rt);
	while(m--){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		Modify(x,y);
		printf("%lld\n",qry(S));
	}
}
int main()
{
	freopen("pp.in","r",stdin);
	freopen("pp.out","w",stdout);
	work();
	return 0;
}