[HAOI2015]数字串拆分

题目描述

你有一个长度为n的数字串。定义f(S)为将S拆分成若干个1~m的数的和的方案数，比如m=2时，f(4)=5，分别为4=1+1+1+1你可以将这个数字串分割成若干个数字（允许前导0），将他们加起来，求f，并求和。比如g(123)=f(1+2+3)+f(1+23)+f(12+3)+f(123)。已知字符串和m后求答案对998244353（7*17*223+1，一个质数）取模后的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个字符串，第二行输入m

输出格式：

仅输出一个数表示答案

输入输出样例

输入样例#1：
复制

123
3

输出样例#1： 复制

394608467

说明

对于100%的数据，字符串长度不超过500，m<=5

先求出$f[s]$

显然$f[i]=\sum_{j=i-m}^{i-1}f[j]$

如果i特别大就可以用一个m*m的转移矩阵

也就是$(f_{i-m+1},f_{i-m+2},...f_{i})$的转移矩阵

预处理出A[i][j]表示数S为j*10^i的转移矩阵

对于$g$的转移：

显然$g[i]=\sum_{j=0}^{i-1}g[j]*D[j+1][i]$

$D[j+1][i]$表示j+1~i位构成的数的转移矩阵，显然可以通过A推出

g也要用一个矩阵表示

g[0]初始矩阵使$g_0=1$,也就是$(0,0,..,0,1)$

最后输出矩阵中代表$g_n$的方案，位置是(1,m)

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int Mod=;
 struct Matrix
 {
     int a[][];
 }f[],A[][],now;
 char s[];
 int n,m,ans;
 Matrix operator *(const Matrix &a,const Matrix &b)
 {
     int i,j,l;
     Matrix res;
     memset(res.a,,sizeof(res.a));
     for (i=; i<=m; i++)
     {
         for (j=; j<=m; j++)
         {
             for (l=; l<=m; l++)
             {
                 res.a[i][j]+=1ll*a.a[i][l]*b.a[l][j]%Mod;
         　　　　if (res.a[i][j]>=Mod)
         　　　　res.a[i][j]-=Mod;
             }
         }
     }
     return res;
 }
 Matrix operator +(const Matrix &a,const Matrix &b)
 {
     int i,j,l;
     Matrix res;
     memset(res.a,,sizeof(res.a));
     for (i=; i<=m; i++)
     {
         for (j=; j<=m; j++)
         {
       　　res.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%Mod;
         }
     }
     return res;
 }
 int main()
 {int i,j;
   cin>>s+;
   n=strlen(s+);
   cin>>m;
   for (i=;i<=m;i++)
     {
       A[][].a[i][i]=;
     }
   for (i=;i<=m;i++)
     {
       A[][].a[i][m]=;
     }
   for (i=;i<m;i++)
     {
       A[][].a[i+][i]=;
     }
   for (i=;i<=;i++)
     {
       A[][i]=A[][i-]*A[][];
     }
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       A[i][]=A[][];
       A[i][]=A[i-][]*A[i-][];
       for (j=;j<=;j++)
     　　{
       　　A[i][j]=A[i][j-]*A[i][];
     　　}
     }
   f[].a[][m]=;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       now=A[][s[i]-''];
       for (j=i-;j>=;j--)
     　　{
       　　f[i]=f[i]+(f[j]*now);
       　　if (j) now=A[i-j][s[j]-'']*now;
     　　}
     }
   ans=f[n].a[][m];
   cout<<ans;
 }