P2421 [NOI2002]荒岛野人

传送门

答案不大于 $10^6$，考虑枚举答案

对于枚举的 ans，必须满足对于任意 i,j(i≠j) 都有 使式子$c_i+kp_i \equiv c_j+kp_j\ (mod\ ans)$成立的最小的 k ＞ min( L [ i ] , L [ j ] )

考虑如何求出式子中最小的 k

转化一下，变成$kp_i-kp_j+c_i-c_j=t\cdot ans$

整理一下得 $k(p_i-p_j)-t\cdot ans=c_i-c_j$

显然可以 exgcd 求 k

复杂度最高为 $O(MN^2log_M)$

但是实际上跑得飞快

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=,f=; char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
    while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) { x=,y=; return a;}
    int g=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y;
    return g;
}
int n,c[N],p[N],L[N];
inline bool check(int M)//判断枚举的ans是否符合要求
{
    int X,Y,res,A,B,C,d,mo;
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=i+;j<=n;j++)
        {
            A=p[i]-p[j],B=M,C=c[j]-c[i];
            if(A<) A=-A,C=-C;//负数要转正,B的符号对答案没影响
            d=exgcd(A,B,X,Y);
            if(C%d) continue;//如果无解说明永远不会碰面，符合要求
            res=X*C/d; mo=M/d;
            res=(res%mo+mo)%mo;
            if(res<=min(L[i],L[j])) return ;//判断有生之年内是否会碰面
        }
    return ;
}
int main()
{
    int mx=;
    n=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        c[i]=read(),p[i]=read(),L[i]=read();
        mx=max(mx,c[i]);
    }
    for(int i=mx;i<=1e6;i++)
        if(check(i)) { printf("%d",i); break; }
    return ;
}