对各种lca算法的理解

1.RMQ+ST

　　首先注意这个算法的要素：结点编号，dfs序，结点深度。

　　首先dfs，求出dfs序，同时求出每个结点的深度。然后st算法，维护深度最小的结点编号（dfs序也可以，因为他们俩可以互相转换，只要不是深度就行了）。这样后面查询的时候才知道lca是哪个结点。如果维护的是深度。。那就不知道了。

　　感觉这个算法的精髓在于：两个节点的dfs序间最小深度的结点一定是它们的lca（不会证）。至于结点编号和dfs序如何转换。。dfs序转换成结点编号很简单，数组取一下就行了。然而结点编号转换成dfs序需要对于每个结点存一个first，表示每个结点第一次在dfs序中出现的位置。为什么这样。。因为无论是维护还是查询，它和其他位置都还是一样的，没影响。

　　所以只要认清三个要素，然后清楚它们如何转换就行了。

　　时间复杂度。。预处理O(nlogn)，查询O(1)吧。预处理上界紧。

2.树剖

　　树剖思想很好理解。。顺着链往上找就行了。注意两个结点同链时要取深度低的。

　　时间复杂度：预处理O(n)，查询O(logn)。上界都松。

3.倍增

　　倍增也就是先预处理一下，然后对于一个查询x，y，先把x，y跳到同一高度，再一起进退。。好理解吧。

　　时间复杂度：预处理O(nlogn)，查询O(logn)。上界紧。。（感觉这个好蒟蒻，但是好写）

4.tarjan

　　前面都是在线。。这个是秒杀一切的离线算法。

　　它利用了dfs的性质。首先对于树dfs。当一个结点的一个孩子dfs完以后，再把它的孩子通过并查集并到它上面。注意不能按秩合并。。因为这个结点的孩子都遍历完以后，会查询与这个结点相关的询问。如果那个结点访问过，就查询那个结点的爸爸的爸爸的爸爸祖先，那一定是它们的lca。

　　至于为什么不能立即合并，那是因为tarjan需要将子树独立，不然查询到的就是目前访问到的最低结点，而不是对于查询的lca了。

　　时间复杂度：O（n）。上界。。紧不紧无关紧要。

得出结论：如果数据不大的话，用好写的倍增。不然支持离线用tarjan，只能在线的话，查询多用RMQ+ST，节点多用树剖！