【CZY选讲·Triangle】

题目描述

长度为的铁丝，你可以将其分成若干段，并把每段都折成一个三角形。你还需要保证三角形的边长都是正整数并且三角形两两相似，问有多少种不同的分法。

数据范围

1≤≤10^6

题解：

     ①相似三角形一定可以找到最小的那个，称为这类相似三角形的基。

     ②剩下就是一包夹杂容斥的递推：
     ③设w[i]为长度为i的铁丝的分法,一种分法的所有三角形边长除以gcd(a,b,c)得到的三角形都一样，且三边互质,设边长为a',b',c'。

     ④若M=a+b+c,M'=a'+b'+c',设k=M/M',那么以a',b',c'为三边的三角形为基，用长度为M的铁丝能做出的方案数为2^(k-1) (杨辉三角第k层数字和公式)。

     ⑤设g[i]为长度为i的铁丝分成边长为a,b,c(a<=b<=c)且gcd(a,b,c)=1的三角形的方案数。那么

           w[i]=g[p1]*2^(i/p1-1)+g[p2]*2^(i/p2-1)+…+g[pk]*2^(i/pk-1)(p为i的因数)。

     ⑥设f[i]为长度为i的铁丝分成边长为a,b,c(a<=b<=c)的三角形的方案数。那么

           g[i]=f[i]-f[p1]-f[p2]-…-f[pk](p为i的因数)。(注意此处的f相当于g了,因为是f在刷新自己,因此不会出现因倍数而导致重复情况)

      ⑦接下来处理三角形三边合法(即f的递推)：

       1.b==c，c最小为ceil(i/3)，最大为floor((i-1)/2) 。

       2.b<=b<=c-1的方案数，为f[i-1]。

       第二种情况还要除去a+b=c的方案数。

       若a+b=c，那么i=a+b+c=2*(a+b)，a+b=i/2，

       这样的(a,b)有i/2/2对，此时i一定为偶数，所以i为偶数时要考虑这种情况

       (⑦部分要好好理解)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=5000005,mod=1000000007;
int n,ans,cnt;
int f[N],p[N];
int main(){
    p[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)p[i]=(p[i-1]*2)%mod;
    f[3]=1;
    for(int i=4;i<=N;i++){
        f[i]=f[i-1]+(i-1)/2-i/3+(i%3?0:1);
        if(i%2==0)f[i]-=i/4;
        f[i]%=mod;
        if(f[i]<0)f[i]+=mod;
    }
    for(int i=2;i<=N;i++)
        for(int j=2;i*j<=N;j++){
            f[i*j]-=f[i];
            if(f[i*j]<0)f[i*j]+=mod;
        }
    while(~scanf("%d",&n)){
        ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i!=0)continue;
            ans=(ans+1ll*f[i]*p[n/i])%mod;
            if(i*i!=n)ans=(ans+1ll*f[n/i]*p[i])%mod;
        }
        printf("Case %d: %d\n",++cnt,ans);
    }
    return 0;
}

我奋力地穿越空旷和迷墙，在我的路上寻找生命的意义。——————汪峰《我的路》