LA4728 Squares
题意
就是求凸包点集的直径。
题解
当然选择旋转卡壳。
然后是实现上的技巧:
当Area(p[u], p[u+1], p[v+1]) <= Area(p[u], p[u+1], p[v])时停止旋转
即Cross(p[u+1]-p[u], p[v+1]-p[u]) - Cross(p[u+1]-p[u], p[v]-p[u]) <= 0
根据Cross(A,B) - Cross(A,C) = Cross(A,B-C)
化简得Cross(p[u+1]-p[u], p[v+1]-p[v]) <= 0
画个图就能发现,这样找的是对于一条边三角形的最大高。为什么这样是对的呢?
凸包上一个点到其他点的距离是一个凸函数。然后在两条直线慢慢旋转的过程中,可以考虑直接转一条边,这样求出的是到这条直线的最大距离,显然就是对踵点对。
实现的时候初始化可以直接暴力转,因为均摊是\(O(n)\)的。时间复杂度\(O(T n \log n)\)。
由于坐标都是整数,而又不涉及需要实数运算的操作,所以`Point`类可以直接实现为整数坐标。
```cpp
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define rg register
#define il inline
#define co const
templateil T read()
{
rg T data=0;
rg int w=1;
rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
data=data*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return data*w;
}
templateT read(T&x)
{
return x=read();
}
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Point
{
int x,y;
Point(int x=0,int y=0)
:x(x),y(y){}
bool operator<(co Point&rhs)co
{
return x<rhs.x||(x==rhs.x&&y<rhs.y);
}
bool operator==(co Point&rhs)co
{
return x==rhs.x&&y==rhs.y;
}
};
typedef Point Vector;
Vector operator-(co Point&A,co Point&B)
{
return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
int Cross(co Vector&A,co Vector&B)
{
return A.xB.y-A.yB.x;
}
int Dot(co Vector&A,co Vector&B)
{
return A.xB.x+A.yB.y;
}
int Dist2(co Vector&A,co Vector&B)
{
return (A.x-B.x)(A.x-B.x)+(A.y-B.y)(A.y-B.y);
}
vectorConvexHull(vector&p)
{
sort(p.begin(),p.end());
p.erase(unique(p.begin(),p.end()),p.end());
int n=p.size();
int m=0;
vector<Point>ch(n+1);
for(int i=0;i<n;++i)
{
while(m>1&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2])<=0)
--m;
ch[m++]=p[i];
}
int k=m;
for(int i=n-2;i>=0;--i)
{
while(m>k&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2])<=0)
--m;
ch[m++]=p[i];
}
if(n>1)
--m;
ch.resize(m);
return ch;
}
int Diameter2(vector&points)
{
vectorp=ConvexHull(points);
int n=p.size();
if(n1)
return 0;
if(n2)
return Dist2(p[0],p[1]);
p.push_back(p[0]); // avoid %
int ans=0;
for(int u=0,v=1;u<n;++u)
{
for(;
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