Bzoj4481 [Jsoi2015]非诚勿扰

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Description

【故事背景】
JYY赶上了互联网创业的大潮，为非常勿扰开发了最新的手机App实现单身大龄青年之间的“速配”。然而随着用户数量的增长，JYY发现现有速配的算法似乎很难满足大家的要求，因此JYY决定请你来调查一下其中的原因。
【问题描述】
应用的后台一共有N个女性和M个男性，他们每个人都希望能够找到自己的合适伴侣。为了方便，每个男性都被编上了1到N之间的一个号码，并且任意两个人的号码不一样。每个女性也被如此编号。

JYY应用的最大特点是赋予女性较高的选择权，让每个女性指定自己的“如意郎君列表”。每个女性的如意郎君列表都是所有男性的一个子集，并且可能为空。如果列表非空，她们会在其中选择一个男性作为自己最终接受的对象。
JYY用如下算法来为每个女性速配最终接受的男性：将“如意郎君列表”中的男性按照编号从小到大的顺序呈现给她。对于每次呈现，她将独立地以P的概率接受这个男性（换言之，会以1−P的概率拒绝这个男性）。如果她选择了拒绝，App就会呈现列表中下一个男性，以此类推。如果列表中所有的男性都已经呈现，那么中介所会重新按照列表的顺序来呈现这些男性，直到她接受了某个男性为止。
显然，在这种规则下，每个女性只能选择接受一个男性，而一个男性可能被多个女性所接受。当然，也可能有部分男性不被任何一个女性接受。这样，每个女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”为空的除外）。现在考虑任意两个不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的编号比b的编号小，而a选择的男性的编号比b选择的编号大，那么女性a和女性b就叫做一对不稳定因素。
由于每个女性选择的男性是有一定的随机性的，所以不稳定因素的数目也是有一定随机性的。JYY希望你能够求得不稳定因素的期望个数（即平均数目），从而进一步研究为什么速配算法不能满足大家的需求。

Input

输入第一行包含2个自然数N,M，表示有N个女性和N个男性，以及所有女
性的“如意郎君列表”长度之和是M。
接下来一行一个实数P，为女性接受男性的概率。
接下来M行，每行包含两个整数a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”
中。
输入保证每个女性的“如意郎君列表”中的男性出现切仅出现一次。
1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

输出1行，包含一个实数，四舍五入后保留到小数点后2位，表示不稳定因素的期望数目。

Sample Input

5 5
0.5
5 1
3 2
2 2
2 1
3 1

Sample Output

0.89

HINT

Source

By 佚名上传

数学问题期望脑洞题

期望还能这么玩儿，真的神奇。

女方如果选中某个人，可能是第一轮选中的，也可能是第一轮没选人，在第二轮选中的，也可能在第三轮，第四轮……

看上去是个无限项的等比数列求和。

利用等比数列公式计算女方选某个人的概率：

　　$ \frac{a_1*(1-p^n)}{1-p}$

在n无穷大的时候$ p^n $趋近于0，可以直接忽视掉。

这样就可以算出这个位置被选的概率。

这样，之后开始选择的女方如果选了某个更靠前位置，就多了这么些概率贡献一个逆序对。

将边按双关键字排序，用树状数组维护一个类似逆序对的东西即可。

数据卡精度，需要long double

 /*by SilverN*/

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 using namespace std;

 const int mxn=;

 int read(){

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>='' && ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }

 struct edge{

     int x,y;

     bool operator < (const edge &b)const{

         return ((x==b.x && y<b.y) || x<b.x);

     }

 }a[mxn],c[mxn];

 //

 int n,m;

 int len[mxn];

 long double P,pr[mxn];

 long double t[mxn];

 void add(int x,double v){while(x<=n){t[x]+=v;x+=x&-x;}}

 long double ask(int x){double res=0.0;while(x){res+=t[x];x-=x&-x;}return res;};

 inline long double GetP(int x,int y){return P*pr[y-]/(-pr[len[x]]);}

 int main(){

 //    freopen("in.txt","r",stdin);

     n=read();m=read();scanf("%Lf",&P);

     pr[]=1.0;

     for(int i=;i<=m;i++){pr[i]=pr[i-]*(-P);}

     for(int i=;i<=m;i++){

         a[i].x=read();a[i].y=read();len[a[i].x]++;

     }

     sort(a+,a+m+);

     long double ans=0.0;

     int hd=;

     for(int i=;i<=n;i++){//枚举左边

         if(a[hd].x!=i)continue;

         int cnt=;

         while(a[hd].x==i){

             ++cnt;

             add(a[hd].y,GetP(i,cnt));

             ans+=GetP(i,cnt)*(ask(n)-ask(a[hd].y));

             hd++;

         }

     }

     printf("%.2f\n",(double)ans);

     return ;

 }