NC26257 小雨坐地铁

题目链接

题目

题目描述

小雨所在的城市一共有 \(m\) 条地铁线，分别标号为 1 号线，2 号线，……，m 号线。整个城市一共有 \(n\) 个车站，编号为 \(1 \sim n\) 。其中坐 i 号线需要花费 \(a_i\) 的价格，每坐一站就需要多花费 \(b_i\) 的价格。i 号线有 \(c_i\) 个车站，而且这 \(c_i\) 个车站都已知，如果某一站有多条地铁线经过，则可以在这一站换乘到另一条地铁线，并且能多次换乘。现在小雨想从第 s 个车站坐地铁到第 t 个车站，地铁等待时间忽略不计，求最少花费的价格，若不能到达输出 -1 。（地铁是双向的，所以 s 可能大于 t）

输入描述

第一行输入四个正整数 \(n,m,s,t\)，分别表示车站个数，地铁线数，起点站和终点站。

第二行到第 \(m + 1\) 行，每行前三个数为 \(a_i,b_i,c_i\)，分别表示坐 i 号线的价格，i 号线每坐一站多花的价格，i 号线车站个数。接下来 \(c_i\) 个数，表示 i 号线的每一个车站的编号，单调递增。

输出描述

共一行，一个数表示最小花费，若不能到达输出 -1 。

示例1

输入

5 2 1 4
2 2 3 1 3 5
2 1 4 2 3 4 5

输出

7

说明

坐 1 号线：花费 2；

\(1 \rightarrow 3\) ：花费 2；

换乘 2 号线：花费 2；

\(3 \rightarrow 4\) ：花费 1；

所以最小总花费为 7 。

备注

\(1 \leq n \leq 10^3, 1 \leq m \leq 500,1 \leq s,t \leq n\)

\(1 \leq a_i,b_i \leq 100,1 \leq c_i \leq n,\sum\limits_{i = 1}^m c_i \leq 10^5\)

题解

知识点：图论建模，最短路。

利用分层图建模，每条地铁单独建立 \(n\) 个点。再额外建立 \(n\) 个点作为换乘的点，连接每条地铁每站。

最后跑最短路即可。

时间复杂度 \(O((nm+\sum c_i)\log\sum c_i)\)

空间复杂度 \(O(nm+\sum c_i)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1e3 * 501 + 7, M = 4 * 1e5 + 7;

template<class T>
struct Graph {
    struct edge {
        int v, nxt;
        T w;
    };
    int idx;
    vector<int> h;
    vector<edge> e;

    Graph(int n, int m) :idx(0), h(n + 1), e(m + 1) {}

    void clear(int n, int m) {//全局使用时清零，确定范围防止超时
        idx = 0;
        h.assign(n + 1, 0);
        e.assign(m + 1, { 0,0,0 });
    }

    void add(int u, int v, T w) {
        e[++idx] = edge{ v,h[u],w };
        h[u] = idx;
    }
};
Graph<int> g(N, M);

bool vis[N];
int dis[N];
struct node {
    int v, w;
    friend bool operator<(node a, node b) {
        return a.w > b.w;
    }
};
priority_queue<node> pq;
void dijkstra(int st) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[st] = 0;
    pq.push({ st,0 });
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().v;
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int i = g.h[u];i;i = g.e[i].nxt) {
            int v = g.e[i].v, w = g.e[i].w;
            if (dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                pq.push({ v,dis[v] });
            }
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        int pre = 0;
        while (c--) {
            int x;
            cin >> x;
            if (pre) {
                g.add(pre + i * n, x + i * n, b);
                g.add(x + i * n, pre + i * n, b);
            }
            //每层用以站点在不同线路连接，第一层当作站点，用以换乘
            g.add(x, x + i * n, a);
            g.add(x + i * n, x, 0);
            pre = x;
        }
    }
    dijkstra(s);
    cout << (dis[t] > 1e9 ? -1 : dis[t]) << '\n';

    return 0;
}