NC16544 简单环

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题目

题目描述

给定一张n个点m条边的无向图，求出图中所有简单环的数量。(简单环：简单环又称简单回路，图的顶点序列中，除了第一个顶点和最后一个顶点相同外，其余顶点不重复出现的回路叫简单回路。或者说，若通路或回路不重复地包含相同的边，则它是简单的)

输入描述

第一行三个数n m k (k在输出描述中提到)

接下来m行每行两个数u，v表示u到v之间存在一条边（无重边）

输出描述

输出k行每行1个整数

第i个数表示长度%k==i-1的简单环的数量（对998244353取模）

(只记录长度大于2的简单环的数量)

示例1

输入

4 6 3
1 2
2 3
3 4
4 1
2 4
1 3

输出

4
3
0

备注

n<=20

m<=n*(n-1)/2

k<=n

题解

知识点：状压dp。

比普通的TSP多了个环计数，应当在遍历每个状态时，查看起点和终点是否能够连接，能的话就给这个长度计数。为了避免重复计算，每次第一个 \(1\) 作为起点，选择终点应当在起点之后，防止出现不同的终点和起点对应同一个环的重复。最后应该除以二，消除顺时针逆时针的重复。

时间复杂度 \(O(m+n^22^n+q)\)

空间复杂度 \(O(n2^n+nm+q)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 998244353;
int g[27][27];
int dp[(1 << 20) + 7][27];///状态i且最后一个点为j时，除去连成环会重复的可能的所有方案
int ans[27];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u][v] = 1;
        g[v][u] = 1;
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) dp[1 << i - 1][i] = 1;
    for (int i = 1;i < (1 << n);i++) {

        int s = 0;///规定每个状态的第一个1为起点
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            if (i & (1 << j - 1)) {
                s = j;
                break;
            }
        }
        int len = __builtin_popcount(i);

        for (int j = s + 1;j <= n;j++) {///枚举状态i的最后一个点
            ///最后一个点要在起点后面，因为最终会连成环，防止环形性重复计数，如..j...s.. <-> ..s...j..的等价情况 

            if (!(i & (1 << j - 1))) continue;
            for (int k = s;k <= n;k++) {///枚举上一次的最后一个点，只会在起点及其后面
                if (!(i & (1 << k - 1))) continue;
                if (g[j][k]) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i ^ (1 << j - 1)][k]) % mod;///如果有通路，则可以连上
            }///计算合法链的方案

            if (g[s][j] && len >= 3)///起点和终点能连上且长度大于等于3时，属于能连成合法的环
                ans[len % q] = (ans[len % q] + dp[i][j]) % mod;
        }
    }
    for (int i = 0;i < q;i++)
        cout << 1LL * ans[i] * 499122177 % mod << '\n';///顺时针逆时针的重复计数消除
    return 0;
}