[BZOJ3600] 没有人的算术 题解

妙不可言！妙绝人寰！

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单点修，区间查，包是线段树的。考虑如何比较两节点大小。

考虑二叉搜索树，我们只要再给每个节点附一个权值，就可以比较了！

注意力相当惊人的注意到，假如给每个点一个区间 \([l_x,r_x]\)，左右儿子分别表示为 \([l_x,\lfloor\frac{l_x+r_x}2\rfloor]\) 和 \([\lfloor\frac{l_x+r_x}2\rfloor+1,r_x]\)，那么只需要比较 \(vl_x=\lfloor\frac{l_x+r_x}2\rfloor\) 的大小就可以了。

为了保证树高（这里树高决定了精度和时间复杂度两重），我们需要将二叉搜索树改为平衡树。然旋转之树难改权值，\(FHQ-Treap\) 难找权值，盖追二叉之殊遇，欲报之于替罪羊也。所以考虑使用替罪羊树，在暴力重构时重新更新每个点的权值，这样就可以做到不改变时间复杂度了。

时间复杂度 \(O(q(\log n+\log q))\)。卡到 \(luogu\) 最优解了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
const int inf=(1ll<<30);
const double alp=0.77;
int n,m,id[N],ps[N];
namespace sad_goat_tree{
	#define ls(x) sg[x].ls
	#define rs(x) sg[x].rs
	#define sz(x) sg[x].sz
	#define la(x) sg[x].la
	#define ra(x) sg[x].ra
	#define vl(x) sg[x].vl
	struct sad_goat{
		int ls,rs,sz,la,ra,vl;
	}sg[N];int rt,tot,cnt,a[N];
	int cmp(int x,int l,int r){
		if(vl(la(x))!=vl(l))
			return vl(l)<vl(la(x));
		return vl(r)<vl(ra(x));
	}int mx(int x,int y){
		return vl(id[x])>=vl(id[y])?x:y;
	}void push_up(int x){
		sz(x)=sz(ls(x))+sz(rs(x))+1;
	}void build(int &x,int l,int r,int L,int R){
		if(l>r) return;int mid=(l+r)/2;
		sg[x=a[mid]]={0,0,1,la(x),ra(x),(L+R)/2};
		build(ls(x),l,mid-1,L,vl(x));
		build(rs(x),mid+1,r,vl(x)+1,R);
		push_up(x);
	}void dfs(int x){
		if(ls(x)) dfs(ls(x));
		a[++cnt]=x;if(rs(x)) dfs(rs(x));
	}void rebuild(int &x,int l,int r){
		cnt=0,dfs(x),build(x,1,cnt,l,r);
	}int check(int x){
		return max(sz(ls(x)),sz(rs(x)))>=alp*sz(x);
	}int add(int &x,int l,int r,int L,int R){
		if(!x) sg[x=++tot]={0,0,1,l,r,(L+R)/2};
		if(la(x)==l&&ra(x)==r) return x;int re;
		if(cmp(x,l,r)) re=add(ls(x),l,r,L,vl(x));
		else re=add(rs(x),l,r,vl(x)+1,R);
		if(check(x)) rebuild(x,L,R);
		return push_up(x),re;
	}
}using namespace sad_goat_tree;
namespace segtree{
	void push_up(int x){
		ps[x]=mx(ps[x*2],ps[x*2+1]);
	}void build(int x,int l,int r){
		ps[x]=l;if(l==r) return;int mid=(l+r)/2;
		build(x*2,l,mid),build(x*2+1,mid+1,r);
	}void chg(int x,int l,int r,int k){
		if(l==r) return;
		int mid=(l+r)/2;
		if(k<=mid) chg(x*2,l,mid,k);
		else chg(x*2+1,mid+1,r,k);
		push_up(x);
	}int maxn(int x,int l,int r,int L,int R){
		if(L<=l&&r<=R) return ps[x];
		int mid=(l+r)/2,re=0;
		if(L<=mid) re=maxn(x*2,l,mid,L,R);
		if(R>mid) re=mx(re,maxn(x*2+1,mid+1,r,L,R));
		return re;
	}
}using namespace segtree;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m,add(rt,0,0,1,inf);
	for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=rt;
	build(1,1,n);
	while(m--){
		char c;int l,r,k;cin>>c>>l>>r;
		if(c=='Q'){cout<<maxn(1,1,n,l,r)<<"\n";continue;}cin>>k;
		id[k]=add(rt,id[l],id[r],1,inf),chg(1,1,n,k);
	}return 0;
}