Solution Set -「NOIP Simu.」20221008

\(\mathscr{A}\sim\)「CF 1680E」Moving Chips

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  Tag:「水题无 tag」

  温暖签到惹, DP 一下就好了. 注意不要因为觉得 "能贪心" 就一直贪心, 挂了老半天.

\(\mathscr{B}\sim\)「CF 1562E」Rescue Niwen! *

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  Tag:「水题无 tag」

  没做出来是因为部分分太多, 加之 D 因为读错题不会做 qwq.

  分析一下最优答案的性质, SA 完 DP 就行.

\(\mathscr{C}\sim\)「CF 896D」Nephren Runs a Cinema

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  Tag:「A.数学-组合计数」

  显然是个 Catalan 升级版. 设 \(f(x,y)\) 表示从 \((0,0)\) 出发, 使用位移 \(\{(1,-1),(1,0),(1,1)\}\) 无限制地走到 \((x,y)\) 的方案数. 那么

\[\begin{aligned}
\textit{ans} &= \sum_{i=l}^rf(n,i)-\sum_{i=-(r+2)}^{-(l+2)}f(n,i)\\
&= \sum_{i=l}^rf(n,i)-\sum_{i=l+2}^{r+2}f(n,i)\\
&= f(n,l)+f(n,1)-f(n,r+1)-f(n,r+2).
\end{aligned}
\]

  然后来看看 \(f(x,y)\), 枚举 \((1,0)\) 的使用个数可知:

\[f(x,y)=\sum_{i\ge 0,x-i\ge y,2\mid(x-i+y)}\binom{x}{i,(x-i+y)/2}.
\]

组合数? 阶乘做除法嘛, \(p\) 是和数? 令 \(k!=r_i\prod p_i^{\alpha_{k,i}}\), 除法就可以直接抵消指数了. 复杂度 \(\mathcal O(n\log p)\).

\(\mathscr{D}\sim\)「CF 1510B」Button Lock

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  Tag:「A.图论-网络流-费用流」

  读对题那就很简单了嘛 ... 以 R 为分割, 我们的答案用若干条链覆盖了所有数. 先不论具体操作次数, 最有覆盖方案一定是一个最小链覆盖. 然后 ... 带个权, 就结束了. 复杂度 \(\mathcal O(\operatorname{Dinic}(2n,n^2))\).