洛谷 P1573 栈的操作

题目描述

现在有四个栈，其中前三个为空，第四个栈从栈顶到栈底分别为1,2,3,…,n。每一个栈只支持一种操作：弹出并压入。它指的是把其中一个栈A的栈顶元素x弹出，并马上压入任意一个栈B中。但是这样的操作必须符合一定的规则才能进行。规则1：A栈不能为空。规则2：B栈为空或x比B栈栈顶要小。

对于给定的n，请你求出把第四个栈的n个元素全部移到第一个栈的最少操作次数。

由于最少操作次数可能很多，请你把答案对1000007取模。

输入输出格式

输入格式：

一行，一个n

输出格式：

一行，一个正整数，为把最少操作次数 mod 1000007的值

输入输出样例

输入样例#1：

2

输出样例#1：

3

说明

对于30%的数据，n<=8

对于60%的数据，n<=60

对于100%的数据，n<=2*10^9

此题实质上是Hanoi四塔问题。

那么Hanoi四塔问题是不是可以通过三塔问题的结论来解决呢？答案是：可以，首先要知道，三塔问题是借助1个中间柱完成转移，四塔问题是借助2个中间柱完成转移，以上两句话看似是废话，其实很重要！

四塔问题可以转化为：对于N个盘子的四塔问题，先将j(0<=j<=N)个盘子通过两个中间柱(一个中间柱，一个目标柱)移动到另一个目标柱，然后将N-j个盘子通过一个中间柱移动到目标柱，最后将j个盘子通过两个中间柱(一个起始柱，一个中间柱)转移到目标柱

递推方程：H[i]表示三塔问题的结论，即i个盘子通过一个中间柱转移需要多少步。F[i]表示四塔问题的结果，即i个盘子通过两个中转柱移动到4号柱需要多少步。

则，F[i] = min{2*F[j]+H[i-j]}(1<=i<=n;0<=j<=i)

以上方程的复杂度为O(N^2)，是比较低效的方法。那么，有没有更为优化的方法呢？

答案是有的，我们可以做到O(N),但是没有用。上述算法而言，我们都是要通过比较大小找出最小值的，且不论H[i]超不超int的问题，我们这题，每次%1000007后，我们根本无法保证找到的最小的就是最小的，因为有可能1000008%1000007<1000006%1000007，因为取模运算的存在。

怎么办？找一个新的规律,f[i]，表示i个盘子的四塔问题的解。我们通过求出f[i]的值，发现了一个新的规律：

f[1] : 0 +2^0=1;

f[2] : 1 +2^1=3;

f[3] : 3 +2^1=5;

f[4] : 5 +2^2=9;

f[5] : 9 +2^2=13;

f[6] : 13+2^2=17;

f[7] : 17+2^3=25;

f[8] : 25+2^3=33;

f[9] : 33+2^3=41;

f10] : 41+2^3=49;

f[11]: 49+2^4=65;

即，f[i]-f[i-1]的值是有规律的，1个2^0,2个2^1,3个2^2,4个2^3，5个2^4以此类推。所以很容易写出代码，于是这题就这么迎刃而解了。

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k,v,ans,mo=1e6+7;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    k=1;
    v=1;
    for(k=1,v=1;n>k;)
    {
      n-=k;
      k++;
      v=(v+v)%mo;
      ans=(ans+k*v)%mo;
    }
    printf("%lld",(ans+n*v)%mo);
    return 0;
}