bzoj2154||洛谷P1829 Crash的数字表格&&JZPTAB && bzoj3309 DZY Loves Math

bzoj2154||洛谷P1829

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829

不妨设n<=m

就是求$ans=\sum_{k=1}^m{\frac{1}{k}}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{ij[(i,j)=k]}$

把1/k后面的那一部分提出来，设为f(k)，

然后莫比乌斯反演得到f(k)较简易的计算式，代回ans，并化简（过程略）

最后化简出来是$\sum_{k=1}^m{k}\sum_{i=1}^{{\lfloor}\frac{m}{k}{\rfloor}}\mu(i){i^2}g({{\lfloor}\frac{{\lfloor}\frac{n}{k}{\rfloor}}{i}{\rfloor}},{{\lfloor}\frac{{\lfloor}\frac{m}{k}{\rfloor}}{i}{\rfloor}})$

其中$g(x,y)=\frac{(x+1)x(y+1)y}{4}$

可以通过两重的整除分块以O(n)的复杂度计算（第一重枚举n/k,m/k，第二重枚举(n/k)/i,(m/k)/i）

 #pragma GCC optimize(3)
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 #define md 20101009
 #define N 10000000
 ll prime[N+],len,mu[N+],dd[N+];
 bool nprime[N+];
 ll Mod(ll a,ll b)
 {
     if(a>=)    return a%b;
     else if(a%b==)    return ;
     else    return b+a%b;
 }
 ll G(ll x,ll y)
 {
     return (x+)*x%md*(y+)%md*y%md*%md;
 }
 ll calc(ll n,ll m)
 {
     ll i,j,ans=;
     for(i=;i<=m;i=j+)
     {
         if(n<i)    j=min(m,m/(m/i));
         else    j=min(m,min(n/(n/i),m/(m/i)));
         ans=Mod(ans+(dd[j]-dd[i-])*G(n/i,m/i),md);
     }
     return ans;
 }
 ll n,m;
 int main()
 {
     ll i,j,ans=;
     mu[]=;
     for(i=;i<=N;i++)
     {
         if(!nprime[i])    prime[++len]=i,mu[i]=-;
         for(j=;j<=len&&i*prime[j]<=N;j++)
         {
             nprime[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==)    {mu[i*prime[j]]=;break;}
             else    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(i=;i<=N;i++)    dd[i]=dd[i-]+i*i*mu[i];
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     //n=10000000;m=1000;
     if(n>m)    swap(n,m);
     for(i=;i<=m;i=j+)
     {
         if(n<i)    j=min(m,m/(m/i));
         else    j=min(m,min(n/(n/i),m/(m/i)));
         ans=(ans+(i+j)*(j-i+)/*calc(n/i,m/i))%md;
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }

---

额，好像还有一道题面基本一样的题（然而bzoj权限题，不能交），然而是很多组数据，不能每次O(n)算

相关：https://blog.csdn.net/qq_30974369/article/details/79087445

对于这个式子$\sum_{k=1}^m{k}\sum_{i=1}^{{\lfloor}\frac{m}{k}{\rfloor}}\mu(i){i^2}g({{\lfloor}\frac{n}{ik}{\rfloor}},{{\lfloor}\frac{m}{ik}{\rfloor}})$

令T=ik

原式=$\sum_{k=1}^m{k}\sum_{k|T}\mu(\frac{T}{k})(\frac{T}{k})^2g({{\lfloor}\frac{n}{T}{\rfloor}},{{\lfloor}\frac{m}{T}{\rfloor}})$

=$\sum_{T=1}^mg({{\lfloor}\frac{n}{T}{\rfloor}},{{\lfloor}\frac{m}{T}{\rfloor}})\sum_{k|T}k\mu(\frac{T}{k})(\frac{T}{k})^2$

最后从sigma k|T开始那一部分，等于$(id*(\mu\cdot id\cdot id))(T)$

是个积性函数，且是可以线性筛出来的（然而我不会，又去查了题解），将其设为函数h

对于1，h[1]=1

对于一个质数p，h[p]=$1*\mu(p)*p^2+p*\mu(1)*1^2$

对于i%p!=0，h(i*p)=h(i)*h(p)（由于积性）

对于i%p==0，由于h(i*p)拆开后式子中比h(i)多的项的$\mu$值均为0，因此只有对于h(i)中已有的项增加贡献；每一项由$\mu(d)*d^2*(i/d)$变到$\mu(d)*d^2*((i*p)/d)$，因此h(i*p)=h(i)*p

筛出来之后做一下前缀和，这样子每一次询问就可以数论分块根号解决了

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 #define md 20101009
 #define N 10000000
 ll prime[N+],len,dd[N+];
 bool nprime[N+];
 ll h[N+];
 ll Mod(ll a,ll b)
 {
     if(a>=)    return a%b;
     else if(a%b==)    return ;
     else    return b+a%b;
 }
 ll G(ll x,ll y)
 {
     return (x+)*x%md*(y+)%md*y%md*%md;
 }
 ll n,m;
 int main()
 {
     ll i,j,ans=;
     h[]=;
     for(i=;i<=N;i++)
     {
         if(!nprime[i])    prime[++len]=i,h[i]=Mod(-i*i+i,md);
         for(j=;j<=len&&i*prime[j]<=N;j++)
         {
             nprime[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==)    {h[i*prime[j]]=h[i]*prime[j]%md;break;}
             else    h[i*prime[j]]=h[i]*h[prime[j]]%md;
         }
     }
     for(i=;i<=N;i++)    dd[i]=(dd[i-]+h[i])%md;
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     //n=10000000;m=1000;
     if(n>m)    swap(n,m);
     for(i=;i<=m;i=j+)
     {
         if(n<i)    j=min(m,m/(m/i));
         else    j=min(m,min(n/(n/i),m/(m/i)));
         ans=(ans+Mod(dd[j]-dd[i-],md)*G(n/i,m/i))%md;
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }

upd181010:

$\sum_{k|T}k\mu(\frac{T}{k})(\frac{T}{k})^2=T\sum_{k|T}\mu(\frac{T}{k})\frac{T}{k}=T\sum_{k|T}\mu(k)k$

这个式子似乎并没有什么用...但是可以记一下，说不定下次就给出最后的那个呢

---

bzoj3309

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309

不妨设a<=b

显然原式=$\sum_{k=1}^bf(k)\sum_{i=1}^{{\lfloor}\frac{b}{k}{\rfloor}}\mu(i){{\lfloor}\frac{a}{ik}{\rfloor}}{{\lfloor}\frac{b}{ik}{\rfloor}}$

用跟上面类似的方法变到$\sum_{T=1}^b{\lfloor}\frac{a}{T}{\rfloor}{\lfloor}\frac{b}{T}{\rfloor}\sum_{k|T}f(k)\mu(\frac{T}{k})$

后面那个不太好筛啊，根本就不会，我又去查题解了。。。

（弃用）如果i%p==0，可以丢掉那些新产生因子的$\mu$，每一项是由$\mu(d)f(i/d)$变到$\mu(d)f(i/d*p)$，显然会加(i的(i/d)中"最大幂指数等于最小质因子的幂指数"的数的$\mu(d)$之和)，那个求时依赖的值也可以递推出

（弃用）如果i%p!=0，那么首先会多一些产生贡献的项，这些项是由原来i的任意因子乘上一个p得到的，是$\mu(i/d)f(d)$变到$\mu(i*p/(d*p))f(d*p)=\mu(i/d)f(dp)$，产生的贡献是原来的总和加上一个值（i的因子中"最大幂指数等于最小质因子的幂指数"的数(设为d)的$\mu(i/d)$之和）；

筛法的解释：https://blog.csdn.net/phenix_2015/article/details/50799021

这条结论，简单来讲，就是那个函数，只有各个质因子的指数相等的有值((-1)^{质因子数+1})，其他都为0

直接想好像很难想到的样子。。以后记得做这类题要打打表分解分解质因数找找规律

算是A了吧。。。

 #pragma GCC optimize(3)
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 #define N 10000000
 ll prime[N+],len,mu[N+];
 ll n1[N+],n2[N+],n3[N+],h[N+];
 //分别为最小质因子次数，其他质因子次数，质因子数，函数值
 //n2为-1:第一个质因子;n2为-2:已经失败
 bool nprime[N+];
 ll a,b,ans,T;
 template<class T>
 inline void read(T &x) {
     int f=;x=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x*=;x+=(ch-'');ch=getchar();}
     x*=f;
 }
 template<class T>
 inline void write(T x) {
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int main()
 {
     ll i,j;
     mu[]=;
     for(i=;i<=N;i++)
     {
         if(!nprime[i])
         {
             prime[++len]=i;
             mu[i]=-;
             n2[i]=-;
             n3[i]=;
             n1[i]=;
             h[i]=;
         }
         for(j=;j<=len&&i*prime[j]<=N;j++)
         {
             nprime[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==)
             {
                 mu[i*prime[j]]=;
                 n1[i*prime[j]]=n1[i]+;
                 n2[i*prime[j]]=n2[i];
                 n3[i*prime[j]]=n3[i];
                 if(n2[i*prime[j]]==-||n1[i*prime[j]]==n2[i*prime[j]])
                     h[i*prime[j]]=(n3[i*prime[j]]%==)?-:;
                 else
                     h[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
             else
             {
                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                 n1[i*prime[j]]=;
                 n2[i*prime[j]]=(n2[i]==-||n2[i]==n1[i])?n1[i]:-;
                 n3[i*prime[j]]=n3[i]+;
                 if(n2[i*prime[j]]==-||n1[i*prime[j]]==n2[i*prime[j]])
                     h[i*prime[j]]=(n3[i*prime[j]]%==)?-:;
                 else
                     h[i*prime[j]]=;
             }
         }
     }
     //for(i=1;i<=1000;i++)    printf("%lld %lld %lld %lld\n",i,h[i],n1[i],n2[i]);
     //return 0;
     for(i=;i<=N;i++)    h[i]+=h[i-];
     read(T);
     //T=1000;
     while(T--)
     {
         read(a);read(b);
         //a=7558588;b=9653114;
         if(a==||b==)
         {
             puts("");
             continue;
         }
         if(a>b)    swap(a,b);
         ans=;
         for(i=;i<=a;i=j+)
         {
             j=min(a/(a/i),b/(b/i));
             ans+=(a/i)*(b/i)*(h[j]-h[i-]);
         }
         write(ans);putchar('\n');
     }
     return ;
 }