bzoj 4584: [Apio2016]赛艇【dp】

参考：https://www.cnblogs.com/lcf-2000/p/6809085.html

设f[i][j][k]为第i个学校派出的赛艇数量在区间j内，并且区间j内共有k个学校的方案数

把数量区间离散化，转移是：

当k==1

\[f_{i,j,k}=\sum_{i'=1}^{i-1}\sum_{j'=1}^{j-1}\sum_{k'=1}^{i'}f_{i',j',k'}
\]

否则

\[f_{i,j,k}=C_{len_j}^k\frac{\sum_{i'=1}^{i-1}f_{i',j,k}}{C_{len_j}^{k-1}}
\]

\[f_{i,j,k}=\frac{C_{len_j}^k}{C_{len_j}^{k-1}}\sum_{i'=1}^{i-1}f_{i',j,k}
\]

\[f_{i,j,k}=\frac{len_j-k+1}{k}\sum_{i'=1}^{i-1}f_{i',j,k}
\]

然后这个空间是不行的，所以用二维前缀和优化

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1005,mod=1e9+7;
int n,l[N],r[N],inv[N],g[N],tot,has,h[N],f[N][N],s[N][N];
map<int,int>mp;
int read()
{
	int r=0,f=1;
	char p=getchar();
	while(p>'9'||p<'0')
	{
		if(p=='-')
			f=-1;
		p=getchar();
	}
	while(p>='0'&&p<='9')
	{
		r=r*10+p-48;
		p=getchar();
	}
	return r*f;
}
inline void add(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)
		x-=mod;
}
int main()
{
	n=read();
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		l[i]=read(),r[i]=read()+1;
		g[++tot]=l[i],g[++tot]=r[i];
	}
	sort(g+1,g+1+tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		if(i==1||g[i]!=g[i-1])
			mp[g[i]]=++has,h[has]=g[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		l[i]=mp[l[i]],r[i]=mp[r[i]];
	for(int i=0;i<=has;i++)
		f[0][i]=1;
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++)
	{
		for(int j=r[i]-1;x=h[j+1]-h[j],j>=l[i];j--)
		{
			for(int k=min(x,i);k>1;k--)
			{
				y=1ll*s[j][k-1]*inv[k]%mod*(x-k+1)%mod;
				add(f[i][j],y);
				add(s[j][k],y);
			}
			y=1ll*f[i-1][j-1]*x%mod;
			add(f[i][j],y);
			add(s[j][1],y);
		}
		f[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=has;j++)
		{
			add(f[i][j],(f[i-1][j]+f[i][j-1])%mod);
			f[i][j]=(f[i][j]-f[i-1][j-1])%mod;
			if(f[i][j]<0)
				f[i][j]+=mod;
		}
	}
	printf("%d\n",(f[n][has]+mod-1)%mod);
	return 0;
}