AI面试之SVM推导

SVM现在主流的有两个方法。一个是传统的推导，计算支持向量求解的方法，一个是近几年兴起的梯度下降的方法。 梯度下降方法的核心是使用了hinge loss作为损失函数，所以最近也有人提出的深度SVM其实就是使用hinge loss的神经网络。

本文的目的是讲解传统的推导。

SVM的超平面

SVM模型的基本原理，就是寻找一个合适的超平面，把两类的样本正确分开。单个SVM只能处理二分类，多分类需要多个SVM。

【什么是超平面？】

超平面就是n维度空间的n-1维度的子空间。换成人话就是2维空间中的1维度的线，三维立体空间的二维平面。

图中总共有5个超平面，那么哪一个是最好的呢？我们认为中间的那个是最好的。因为他对两侧的间隔较大。

SVM基本型

超平面我们可以用这个方程来表示：

\(\bm{w^Tx}+b=0\)

空间中任意一个点x到这个超平面的垂直距离为：

\(d = \frac{|\bm{w^Tx}+b|}{||\bm{w}||}\)

这里不得不提到一下逻辑回归，对于逻辑回归来说：



就是在超平面一侧的样本，逻辑回归给出的预测类别是1，另外一侧就是0.

但是SVM觉得这样有一些过于绝对了，所以：



不仅仅要一个样本在平面的一侧，还要在平面的这一侧足够远的地方，才能算作某一类的样本。

从图中可以看到，两条虚线之外的点，才是SVM能确定是正样本还是负样本的点。

【什么是支持向量？】

图中距离超平面最近的几个训练样本，并且这几个训练样本可以让上式的等号成立。这个点就是支持向量。

【什么是SVM的间隔】

两个不同类别的支持向量到超平面的最小距离之和。其实也就是\(\frac{2}{||w||}\)

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到这里，我们可以隐隐约约的发现，寻找最优的超平面其实等价于寻找一个最大的间隔，或者说让间隔最大化。所以可以得到：

\(\max_{w,b} \frac{2}{||\bm{w}||}\)

这个的约束条件就是：让SVM给正样本的打分大于1，给负样本的打分小于-1,也就是：

简化一下这个约束条件，可以得到：

\(y_i(\bm{w^Tx_i}+b)>=1\)

一般我们都是求取最小化问题，所以把最大化max问题取倒数，变成最小化问题：

\(\min_{w,b} \frac{||\bm{w}||}{2}\)

这里为了后续的计算方便，最小化\(||w||\)等价于最小化\(||w||^2\),所以得到：

\(\min_{w,b} \frac{||\bm{w}||^2}{2}\)

总之SVM的基本型就是:

SVM求解

现在求得了基本型。现在可以来进一步优化这个最小化问题。但是首当其冲的问题便是，如何处理这个约束条件。这里用到的方法是拉格朗日乘子法。将约束条件以\(\alpha_i\)的权重加入到优化问题中，所以可以得到：

\(Loss(\bm{w},b,\bm{\alpha})=\frac{1}{2}||w||^2+\sum^m_{i=1}\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))\)

• 这里的loss就是我们要最小化的对象；
• 这里的m就是支持向量的数量。

为了最小化这个问题，对w和b求偏导数，可以得到：

\(w = \sum^m_{i=1}{\alpha_iy_ix_i}\)

\(0 = \sum^m_{i=1}{\alpha_iy_i}\)

然后把这两个公式代入到：

\(Loss(\bm{w},b,\bm{\alpha})=\frac{1}{2}||w||^2+\sum^m_{i=1}\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))\)

可以消掉w和b，得到：



约束条件为：



从而根据这个计算出\(\alpha_i\)的取值，然后得到w和b的取值。

【到底如何求解\(\alpha\)?】

上面说的最后一部求解alpha，都是理论可以求解，但是实际中如何做到呢？其实这里如何求解\(\alpha\)要用到另外一个条件。

就是上述过程要满足一个叫做KKT的条件（KKT具体是什么有点复杂，就不多说了）：

• 想要第三个公式成立，要么\(\alpha_i\)等于0，要么\(y_if(x_i)-1=0\).如果alpha=0，那么意味着这个样本不是支持向量，不应该对SVM超平面起到任何影响，所以是不可能的。所以只有\(y_if(x_i)-1=0\)。

加上了这个条件，我们可以求解出来\(\alpha_i\)的具体数值，然后求解w和b的数值。

假设有3个支持向量，那么就会有三个\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) ,然后根据\(y_if(x_i)-1=0\)可以列出3个关于\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的三元一次方程组，然后得到唯一解。