题解-CF617E XOR and Favorite Number

题面

CF617E XOR and Favorite Number

给定 \(n,m,k\) 和 \(n\) 个数的序列 \(a_i\)，\(m\) 次求区间 \([l,r]\) 中异或值为 \(k\) 的子序列个数。

数据范围：\(1\le n,m\le 10^5\)，\(0\le k,a_i\le 10^6\)。

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蒟蒻语

这题的莫队做法太一眼，谁都会是吧（

那么蒟蒻就来写一个过不了这题（会 MLE、TLE）但是可以在线且很有趣的做法：分块。

说不定谁去开大限制卡个离线蒟蒻解就成正解了。

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蒟蒻解

设 \(f(l,r)\) 表示区间 \([l,r]\) 的异或值为 \(k\) 的子区间数。

设 \(cross(l,r)\) 表示区间左端点在 \([1,l]\) 右端点在 \([r,n]\) 的异或值为 \(k\) 的区间数。

先容斥一下（\(cross(l-1,r+1)\) 为了抵消掉 \(f(1,n)\) 中多余的部分）：

\[ans=f(l,r)=f(1,r)+f(l,n)-f(1,n)+cross(l-1,r+1)
\]

这东西前 \(3\) 项可以时空 \(\Theta(n)\) 求出，只是最后一项太恶心了，蒟蒻的方法是分块时空 \(\Theta(n\sqrt{n})\)（巨佬如果有更优做法一定要指教蒟蒻）。

设有 \(b_n\) 个块，每个块为 \([l_i,r_i]\)。

先预处理 \(i<j:cro_{i,j}=cross(r_i,l_j)\)，做法同莫队，前缀和加 unordered_map。

再记 \(lc_{i,c}\) 表示 \([1,r_i]\) 中前缀和为 \(c\) 的个数，\(rc_{i,c}\) 表示 \([l_i,n]\) 中前缀和为 \(c\) 的个数。

求 \(cross(l,r)\) 时，设 \(lb=\max_{i=1}^{b_n} r_i\le l\)，\(rb=\min_{i=1}^{b_n} l_i\ge r\)。

结果就是 \(cro_{lb,rb}\) 再加上

左端点在 \([r_{lb}+1,l]\) 右端点在 \([l_{rb},n]\) 的答案（用 \(rc\) 数组求）

和左端点在 \([1,r_{lb}]\) 右端点在 \([r,l_{rb}-1]\) 的答案（用 \(lc\) 数组求）

和左端点在 \([r_{lb}+1,l]\) 右端点在 \([r,l_{rb}-1]\) 的答案（用前缀和加 unordered_map）。

然后这题就做完了，别忘了这个做法过不了。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e5;
int n,m,k,sm[N+2];
int a[N+1]; ll la[N+2],ra[N+2];
unordered_map<int,int> cnt;

//Block
const int B=320;
int sz,b[N+1];
ll cro[B+2][B+2];
unordered_map<int,int> lc[B+2],rc[B+2];
void build(){
    sz=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=(i-1)/sz+1;
    for(int i=1;i<=b[n];i++)
        for(int j=1;j<=min(sz*i,n);j++) lc[i][sm[j-1]]++;
    for(int i=1;i<=b[n];i++)
        for(int j=n;j>=sz*(i-1)+1;j--) rc[i][sm[j]]++;
    for(int i=1;i<=b[n];i++){
        for(int t=b[n];t>i;t--){
            for(int j=sz*(t-1)+1;j<=min(sz*t,n);j++)
                cro[i][t]+=lc[i][sm[j]^k];
            cro[i][t]+=cro[i][t+1];
        }
    }
}
ll cross(int l,int r){
    if(l<0||r>n) return 0;
    int lb=b[l+1]-1,rb=b[r-1]+1;
    ll res=cro[lb][rb];
    cnt.clear();
    for(int i=lb*sz+1;i<=l;i++) cnt[sm[i-1]]++;
    for(int i=r;i<=min((rb-1)*sz,n);i++) res+=cnt[sm[i]^k];
    for(int i=lb*sz+1;i<=l;i++) res+=rc[rb][sm[i-1]^k];
    for(int i=r;i<=min((rb-1)*sz,n);i++) res+=lc[lb][sm[i]^k];
    return res;
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) sm[i]=sm[i-1]^a[i];
    cnt.clear(),cnt[sm[0]]++;
    for(int i=1;i<=n;i++) la[i]=la[i-1]+cnt[sm[i]^k],cnt[sm[i]]++;
    cnt.clear(),cnt[sm[n]]++;
    for(int i=n;i>=1;i--) ra[i]=ra[i+1]+cnt[sm[i-1]^k],cnt[sm[i-1]]++;
    assert(la[n]==ra[1]);
    // for(int i=1;i<=n;i++) cout<<la[i]<<' ';cout<<'\n';
    // for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ra[i]<<' ';cout<<'\n';
    build();
    for(int i=0;i<m;i++){
        int l,r; cin>>l>>r;
        cout<<ra[l]+la[r]-la[n]+cross(l-1,r+1)<<'\n';
    }
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！