洛谷P1579.验证哥德巴赫猜想(DFS+素性测试)

题目背景

1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：任何一个大于9的奇数都可以表示成3个质数之和。质数是指除了1和本身之外没有其他约数的数，如2和11都是质数，而6不是质数，因为6除了约数1和6之外还有约数2和3。需要特别说明的是1不是质数。

这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

题目描述

现在请你编一个程序验证哥德巴赫猜想。

先给出一个奇数n，要求输出3个质数，这3个质数之和等于输入的奇数。

输入格式

仅有一行，包含一个正奇数n，其中9<n<20000

输出格式

仅有一行，输出3个质数，这3个质数之和等于输入的奇数。相邻两个质数之间用一个空格隔开，最后一个质数后面没有空格。如果表示方法不唯一，请输出第一个质数最小的方案，如果第一个质数最小的方案不唯一，请输出第一个质数最小的同时，第二个质数最小的方案。

输入输出样例

输入 #1

2009

输出 #1

3 3 2003

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我的分析

此题就是暴力递归搜索，本身没什么难度，但是如果用常规的枚举2到sqrt(n)之间的数来对n进行素性检测的方法，最后一个样例就过不了！重要的事情说三遍，过不了！过不了！过不了！（超凶╭(╯^╰)╮）

于是，我又去网上找了一个改进后的素性测试方法（虽然搞不懂什么原理O(∩_∩)O），然后成功地通过了所有样例

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
//素性检测函数
bool isprime(int n){
    int p[8]={4,2,4,2,4,6,2,6};
    int i=7,j,q;
    if(n==1)return 0;
    if(n==2||n==5||n==3)return 1;
    if(n%2==0||n%3==0||n%5==0)return 0;
    q=(int)sqrt(n);
    for(;i<=q;){
        for(j=0;j<8;j++){
            if(n%i==0)return 0;
            i+=p[j];
        }
        if(n%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}
//tmp数组用来暂时缓存可能成为答案的3个数，res数组用来储存最终答案的3个数
int res[4],tmp[4];
void dfs(int n,int count){
//如果已经积累到2个素数了，那么本轮递归传入的n就是剩下的一个数了
//若n为素数，则产生一组可能答案，以下步骤尝试更新最终结果
    if(count==2&&isprime(n)){
        tmp[++count]=n;
        if(tmp[1]<res[1]){
            res[1]=tmp[1];
            res[2]=tmp[2];
            res[3]=tmp[3];
        }
        else if(tmp[1]==res[1]){
            if(tmp[2]<res[2]){
                res[1]=tmp[1];
                res[2]=tmp[2];
                res[3]=tmp[3];
            }
        }
        return;
    }
    //若已经积累2个素数，而剩下的一个数非素数，则返回
    else if(count==2) return;
    for(int i=2;i<n;++i){
        if(isprime(i)){
            tmp[++count]=i;
            dfs(n-i,count);
            count--; //注意递归返回后计数器也一定要跟着复原
        }
    }
}
int main(){
	//初始化两个数组，注意初始时res比所给的数大，而tmp一定要比res大
    memset(res,20001,sizeof(int)*4);
    memset(tmp,20002,sizeof(int)*4);
    int n;
    cin>>n;
    dfs(n,0);
    cout<<res[1]<<" "<<res[2]<<" "<<res[3];
    return 0;
}