悬线法——有套路的DP

例题 P1169 [ZJOI2007]棋盘制作

题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8×88 \times 88×8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

小Q找到了一张由N×MN \times MN×M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入输出格式

输入格式：

包含两个整数NNN和MMM，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的NNN行包含一个N ×MN \ \times MN ×M的010101矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（000表示白色，111表示黑色）。

输出格式：

包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

审题可以发现，我们所以寻找的最大矩形其实已经含有正方形，所以不需要单独去寻找，但是当时我只想到如何DP求正方形，所以分开写了；

这里就引进一个概念——悬线法

用途：

　　求满足条件的最大矩形或正方形

方法：

　　通过不断更新矩形左右端点所能到达的距离（1 ： 初始化；2：dp中更新）

定义：

　　left [ i ] [ j ] 数组更新包含第（i，j）点的最左能到达距离；

　　right [ i ] [ j ] 数组更新包含第（i，j）点的最右能到达距离；

　　up [ i ] [ j ] 数组更新包含第（i，j）点的向上能到达的距离；

　　PS：为什么没有下？因为down可以在dp中用up代替；

步骤：

　　1：初始化 left 和 right 数组

　　

for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m-1;j>0;j--){
            if(maps[i][j]!=maps[i][j+1])//判断条件
                right[i][j]=right[i][j+1];
        }//右端点从右往左更新
        for(int j=2;j<=m;j++){
            if(maps[i][j-1]!=maps[i][j])
                left[i][j]=left[i][j-1];
        }//左端点从左往右更新
    }

　　2：DP更新 up 数组和 left，right 数组

　　for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i!=1&&maps[i][j]!=maps[i-1][j]){
                left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);//由上更新
                right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
                //左取大，右取小
                up[i][j]=up[i-1][j]+1;
            }
            int a=right[i][j]-left[i][j]+1;
            int b=min(a,up[i][j]);
            ans1=max(ans1,b*b);//正方形做法2
            ans2=max(ans2,a*up[i][j]);
        }
    }

　　思考：该方法的正确性，因为每个点都取到了一次，每次选取最优解，则正解定会取到

完整Code（附有正方形另类做法）

#include<cstdio>
#define maxn 2007
using namespace std;
int n,m,maps[maxn][maxn],ans1;
int f1[maxn][maxn],ans2,up[maxn][maxn];
int left[maxn][maxn],right[maxn][maxn];
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}

void cube(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int x=maps[i][j];
            if(x==maps[i-1][j]||x==maps[i][j-1]||x!=maps[i][j]){
                f1[i][j]=1;
            }else {
                f1[i][j]=min(f1[i-1][j],min(f1[i][j-1],f1[i-1][j-1]))+1;
            }
            ans1=max(f1[i][j],ans1);
        }
    }
    ans1*=ans1;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&maps[i][j]);
            left[i][j]=j,right[i][j]=j;
            up[i][j]=1;
        }
    }
    cube();//正方形的做法1
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m-1;j>0;j--){
            if(maps[i][j]!=maps[i][j+1])//判断条件
                right[i][j]=right[i][j+1];
        }//右端点从右往左更新
        for(int j=2;j<=m;j++){
            if(maps[i][j-1]!=maps[i][j])
                left[i][j]=left[i][j-1];
        }//左端点从左往右更新
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i!=1&&maps[i][j]!=maps[i-1][j]){
                left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);//由上更新
                right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
                //左取大，右取小
                up[i][j]=up[i-1][j]+1;
            }
            int a=right[i][j]-left[i][j]+1;
            int b=min(a,up[i][j]);
            ans1=max(ans1,b*b);//正方形做法2
            ans2=max(ans2,a*up[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
    return 0;
}

总结与反思；正确灵活使用，可以快速解决问题；