康托展开&逆展开算法笔记

康托展开（有关全排列）

康托展开：已知一个排列，求这个排列在全排列中是第几个

康托展开逆运算：已知在全排列中排第几，求这个排列

定义：

X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+...+ai(i-1)!+...+a21!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

简单点说就是，判断这个数在其各个数字全排列中从小到大排第几位。

比如 1 3 2，在1、2、3的全排列中排第2位。

康托展开有啥用呢？

维基：n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。

它可以应用于哈希表中空间压缩，而且在搜索某些类型题时，将VIS数组量压缩。比如：八数码，魔板等题

康托展开的大小即为在此排列前存在的排列的个数

比如 2 1 4 3 这个数，求其展开：

从头判断，至尾结束,

① 比 2（第一位数）小的数有多少个->1个 就是1，1*3!

② 比 1（第二位数）小的数有多少个->0个 0*2!

③ 比 4（第三位数）小的数有多少个->3个 就是1,2,3，但是1,2之前已经出现，所以是 1*1!

将所有乘积相加=7

比该数小的数有7个，所以该数排第8的位置。

1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

//康托展开
LL Work(char str[])
{
    int len = strlen(str);
    LL ans = 0;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        int tmp = 0;
        for(int j=i+1; j<len; j++)
            if(str[j] < str[i]) tmp++;
        ans += tmp * f[len-i-1];  //f[]为阶乘
    }
    return ans;  //返回该字符串是全排列中第几大，从1开始
}

逆运算的方法：

假设求4位数中第19个位置的数字。

① 19减去1 → 18

② 18 对 3! 作除法 → 得3余0

③ 0对 2! 作除法 → 得0余0

④ 0对 1! 作除法 → 得0余0

据上面的可知：

我们第一位数（最左面的数），比第一位数小的数有3个，显然 第一位数为→ 4

比第二位数小的数字有0个，所以 第二位数为→1

比第三位数小的数字有0个，因为1已经用过，所以第三位数为→2

第四位数剩下 3

该数字为 4123 (正解)

//康托逆展开
void reverse_contor(int x){
    memset(vis,0,sizeof vis);
    x--;
    int j;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int t=x/fac[n-i];
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]){
                if(!t) break;
                t--;
            }
        }
        printf("%d ",j);
        vis[j]=1;
        x%=fac[n-i];
    }
    puts("");
}

【康托展开例题】

CSU-1828

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<assert.h>
#include<bitset>
#include<numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz size()
#define be begin()
#define mp make_pair
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
#define all 1,n,1
#define rep(i,x,n) for(int i=(x); i<(n); i++)
#define reps(i,x,n) for(int i=(x); i<=(n); i++)
#define sf scanf
#define pf printf
#define in freopen("in.in","r",stdin)
#define out freopen("out.out","w",stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> P;
const ULL base = 100000007;//33951943
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LNF = 9997;
const int maxn = 1e5+50;
const int maxm = 1e5 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int dx[] = {-1,1,0,0,1,1,-1,-1};
const int dy[] = {0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int dir[4][2] = {{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
ll fac[11];
char s[10];
int n,m,p;
int main()
{
	int T;
	fac[1]=1;
	rep(i,2,10) fac[i]=fac[i-1]*i;
	sf("%d",&T);
	while(T--)
    {
        sf("%s",s);
        ll res=0;
        rep(i,0,9)
        {
            ll tmp=0;
            rep(j,i+1,9)
            {
                if(s[j]<s[i]) tmp++;
            }
            res+=tmp*fac[9-i-1];
        }
        pf("%lld\n",res+1);
    }
	return 0;
}
/*
【题意】

【类型】

【分析】

【时间复杂度&&优化】

【trick】

【数据】

*/