康托展开&逆康托展开学习笔记

啊。。。好久没写了。。。可能是最后一篇学习笔记了吧

题目大意：给定序列求其在全排列中的排名&&给定排名求排列。

这就是康托展开&&逆康托展开要干的事了。下面依次介绍

一、康托展开

首先，知道它是干嘛的。

就是给定一个全排列之中的序列，求其在整个全排列中的排名。

给出式子：
$k=sum_{i=1}^n(n-i)!\sum_{j=i+1}^n(a_{k,i}>a_{k,j})$

解释一下：考虑这个序列的第i位，对于这个序列，只有前i位都小于等于它，第i位一定小于它的所有序列才会在它前面，于是对每一位考虑组合，就是这个结果了。

代码片：

ll ktz(ll *a)
{
    ll ans=;
    for(ll i=;i<=n;i++)
    {
        ll cnt=;
        for(ll j=i+;j<=n;j++)
        {
            if(a[i]>a[j])//对每一位考虑
            cnt++;
        }
        ans+=cnt*fac[n-i];
    }
    return ans+;//因为求的是前有多少，所有排名+1
}

二、逆康托展开

好了，那有了排名怎么求数组呢？

由上述康托展开可得，要得到数组的每一位，就必须确定前面有多少比它大的。

于是反过来，对每一位考虑可以由多少比它大的，也就是求上述式子中括号里的东西，然后一位一位还原，就成了原序列

过程：首先，同上，-1

然后对每一位，把序号除以对应的fac，确定一个没用过的数，作为当前的答案即可

代码片：

ll nkt(ll k)
{
    k-=;
    ll j;
    memset(vis,,sizeof(vis));
    for(ll i=;i<=n;i++)
    {
        ll s=k/fac[n-i];
        for(j=;j<=n;j++)
        {
            if(!vis[j])
            {
                if(!s)
                break;
                s--;
            }
        }
        printf("%d ",j);
        vis[j]=;
        k%=fac[n-i];
    }
    printf("\n");
}

（完）