题解 P4140 【奇数国 】

题目链接

首先，按照题意，把前$60$个素数打出来$[2$ $-$ $281]$。

因为只有$60$个，再加上本宝宝极其懒得写线性筛于是每一个都$O(\sqrt{n})$暴力筛就好了。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int main()
{
//    freopen("1.txt","w",stdout);
    printf("");//格式问题，以自己爱好稍作更改。
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        for(int j=;j*j<=i;j++)
          if(i%j==) goto rp;
        printf(",%d",i),n++;
        rp:;
    }
    return ;
}

如果我们用$prime[i]$表示第i个素数。
筛出来是这样的：

int prime[]={
    ,,,,,,,,,
    ,,,,,,,
    ,,,,,,,
    ,,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,
};

---

之后，我们看 清点存款 操作，

问$[1,product]$里，有多少个$num$满足：

$$num*x+product*y=1$$

这，与我们 素数的性质 好像啊。

这就是 $num*x≡1$ $ $ $ $ $(mod$ $ $ $product)$

也就是 $gcd(num$ $,$ $product)$ $=$ $1$

嗯，好，问题转化成了：

求 $[1,product]$ 里，有多少个 $num$ 与 $product$ 互质。

也就是 $\varphi(product)$ 等于多少。

之后，根据欧拉函数的通式。

$$\varphi(n)=n*\prod_{p_i|n}(1-\frac{1}{p_i})=n*\prod_{p_i|n}\frac{p_i-1}{p_i}$$

看数据范围，又让 $mod$ $ $ $p$

所以，

再线性推一下逆元,

求解即可。

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$ps:$ 如果脸黑被卡常数了的话，可以把 $[1-281]$ 的逆元打表。

大概代码是这样的：

    pni[]=;
    for(int i=;i<=;i++)
    pni[i]=(long long)(mod-mod/i)*pni[mod%i]%mod;

---

下面，就是区间维护。

题目中说了，~~（在出题人眼里）~~他们的加法相当于我们的乘法。

我们要维护区间 $[a,b]$ 的 “和” 记为 $product$

更改的是某个点（银行）$b_{i}$ 的存款

显然的线段树保存每段区间出现的质因子。

看题面，由于最多出现$60$个质数，我们用一个 $long$ $ $ $long$ 的每一位表示一个质数，然后用或运算$xor$即可实现 “加和” 相乘操作。

然后就……

好好的写代码吧。

不过……

模数为啥不是 $19260817$ 或者是 $998244353$ 或 $64123$ 呢……

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$ps:$ 一定要看看线段树每次的区间边上判定 $!$ $!$ $!$

本宝宝调了两天 $……$

委屈巴巴。。。

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上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 19961993

const int prime[]={
    ,,,,,,,,,
    ,,,,,,,
    ,,,,,,,
    ,,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,,,,,
    ,
};//记录质数。

int pni[];

    //线段树。
    struct data{
        long long sum;//区间（和）乘积
        long long p;//包含哪些素数。第i个二进制位如果是1，则有prime[i]这个素数,从1开始。
    }point[];
    data ans;//记录查询答案。

    void built(int l,int r,int o)
    {
        if(l==r) {point[o].sum=;point[o].p=;return ;}
        int mid=(l+r)/;
        built(l,mid,o*);
        built(mid+,r,o*+);

    //    printf("%d %d %d %d\n",l,r,o,mid);

        point[o].sum=point[o*].sum*point[o*+].sum%mod;
        point[o].p=;
    //     printf("%d %d\n",point[o].sum,point[o].p);
    }

    void chang(int l,int r,int o,const int t,const int k)//第t个点改为k
    {
//        printf("%d %d %d %d %d\n",&l,&r,&o,&t,&k);
        if(l==r){
            point[o].sum=k;
            long long p=;
            for(int i=;i<=;i++){
                if((k%prime[i])==) p|=1LL<<(i-);
                point[o].p=p;
            }
            return ;
        }
        int mid=(l+r)/;
        if(t<=mid) chang(l,mid,o*,t,k);
        else chang(mid+,r,o*+,t,k);
        point[o].sum=point[o*].sum*point[o*+].sum%mod;
        point[o].p=point[o*].p|point[o*+].p;
    }

    void quest(int l,int r,int o,int l1,int r1)//查询L到R。
    {
        if(l1<=l&&r<=r1){
            ans.sum=ans.sum*point[o].sum%mod;
            ans.p|=point[o].p;
            return ;
        }
        int mid=(l+r)/;
        if(l1<=mid) quest(l,mid,o*,l1,r1);
        if(mid<r1)  quest(mid+,r,o*+,l1,r1);
    }
//    void debug()
//    {
//        for(int i=1;i<=100;i++)
//        printf("%d %d %d\n",i,point[i].p,point[i].sum);
//    }

int main()
{

//    freopen("1.in","r",stdin);
//    freopen("1.out","w",stdout);
    built(,,);

    pni[]=;
    for(int i=;i<=;i++)
    pni[i]=(long long)(mod-mod/i)*pni[mod%i]%mod;
    //线性筛逆元

    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        int x;scanf("%d",&x);

        if(x)
        {
        int t,k;
        scanf("%d%d",&t,&k);
        chang(,,,t,k);
        }

        else
        {
            int l1,r1;
            ans.sum=;
            ans.p=;
            scanf("%d%d",&l1,&r1);
            quest(,,,l1,r1);

            long long f=ans.sum;
            for(int i=;i<=;i++)//计算φ
            if(ans.p&(1LL<<(i-))) f=f*(prime[i]-)%mod,f=f*pni[prime[i]]%mod;
            printf("%d\n",(int)f);

        }
//        debug();
    }
    return ;//程序拜拜
}