bzoj 5305: [Haoi2018]苹果树

Description

Solution

\(n\) 个点的二叉树的方案数是 \(n!\)

证明十分显然:新加入的点占掉了 \(1\) 个位置,新加了 \(2\) 个位置,那么多出来一个位置,所以第 \(i\) 个点有 \(i\) 种放法

考虑每条边被经过的次数,设子树大小为 \(size\),就是 \(size*(n-size)\)

以此考虑每个点父边被经过的次数,枚举子树大小

然后贡献就是子树内部形态的方案数乘以外部形态的方案数

内部的显然就是 \(size!\) , 但是编号还不确定,所以是 \(size!*C_{n-i}^{size-1}\)

外部的我们先确定一个大小为 \(i\) 的树,再把多出来的 \(n-size-i+1\) 个拼上去,方案数为 \(\frac{(n-j-1)!}{(i-2)!}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010;
int n,mod,c[N][N],Fac[N],w[N][N];
inline int F(int x,int y){
	if(y<=0)return 1;
	return w[x][y];
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  cin>>n>>mod;
  for(int i=0;i<=n;i++){
	  c[i][0]=1;
	  for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
  }
  Fac[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%mod;
  for(int i=1;i<=n;i++){
	  w[i][0]=1;
	  for(int j=1;j<=n;j++)w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*(i+j-2)%mod;
  }
  int ans=0;
  for(int i=2;i<=n;i++)
	  for(int j=n-i+1;j>=1;j--)
		  ans=(ans+1ll*Fac[j]*c[n-i][j-1]%mod*Fac[i]%mod*F(i,n-j-i+1)%mod*(n-j)%mod*j)%mod;
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}