AC 自动机上 DP

\(\text{Analysis}\)

做了几道题后发现挺套路的

涉及统计或构造文本串与众多模式串匹配产生贡献或存在限制时的 \(DP\)

一般设 \(f[i][j]\) 表示考虑到文本串第 \(i\) 位，在自动机上的 \(j\) 位置

加上 \(j\) 这一维，把自动机的弄进 \(DP\) 里，方便处理与匹配相关的限制

下面是几道题（按我的做题顺序

\(\text{[JSOI2007]}\) 文本生成器

考虑容斥，所有的方案减去一个模式串都不能出现的方案

\(DP\) 计算一个模式串都不能出现的方案，即在自动机上不能走到模式串结尾的结点

设 \(f[i][j]\) 表示考虑到文本串第 \(i\) 位，走到自动机 \(j\) 位置时的答案

那么枚举当前位填的字母，考虑能不能填

能不能填的判断方法，就是填了之后的自动机的位置，它以及跳 \(fail\) 后遇到的结点均不能是模式串结尾的结点

这个很好理解

然后就没了

$\text{Code}$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define IN inline
using namespace std;

const int P = 10007, N = 6005;
int n, m, size = 1;
int tr[N][26], vis[N], Q[N], fail[N], f[105][N];
char s[105];

IN void insert() {
	int len = strlen(s), u = 1, c;
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		c = s[i] - 'A';
		if (!tr[u][c]) tr[u][c] = ++size;
		u = tr[u][c];
	}
	vis[u] = 1;
}

IN void build() {
	int h = 0, t = 0;
	for(int i = 0; i < 26; i++)
		if (tr[1][i]) fail[Q[++t] = tr[1][i]] = 1; else tr[1][i] = 1;
	while (h < t) {
		int now = Q[++h];
		for(int i = 0; i < 26; i++)
			if (tr[now][i]) vis[tr[now][i]] |= vis[fail[tr[now][i]] = tr[fail[now]][i]], Q[++t] = tr[now][i];
			else tr[now][i] = tr[fail[now]][i];
	}
}

IN void Add(int &x, int y) {if ((x += y - P) < 0) x += P;}
IN void Dec(int &x, int y) {if ((x -= y) < 0) x += P;}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s), insert();
	build(), f[0][1] = 1;
	for(int i = 0; i < m; i++)
		for(int j = 1; j <= size; j++)
			for(int k = 0; k < 26; k++)
			if (!vis[tr[j][k]])
				Add(f[i + 1][tr[j][k]], f[i][j]);
	int ans = 1;
	for(int i = 1; i <= m; i++) ans = 26LL * ans % P;
	for(int i = 1; i <= size; i++) Dec(ans, f[m][i]);
	printf("%d\n", ans);
}

\(\text{[SDOI2014]}\) 数数

尝试数位 \(DP\)，发现不行

关于不能出现匹配，弄进 \(AC\) 自动机里就好了

具体设 \(f[i][j][l][k]\) 表示到了第 \(i\) 位，自动机 \(j\) 的位置上，是否有高位标记，是否有前导零

转移很显然

关于模式串的前导零，在自动机上走时，如果有前导零，那么接下来若填 \(0\)，则自动机上的状态应还处于根处

因为压根就没开始。

不填 \(0\) 的话，应从根出发走到相应的儿子结点

所以我改变了下枚举顺序

不过这题数据挺垃圾的

一些奇妙的甚至错误的处理方式都能 \(AC\)

$\text{Code}$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define IN inline
using namespace std;

const int N = 1505, P = 1e9 + 7;
int m, size, tr[N][11], fail[N], Q[N], tag[N], f[N][N][2][2], a[N];
char n[N], s[N];

IN void insert() {
	int len = strlen(s), u = 0, c;
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		c = s[i] - '0';
		if (!tr[u][c]) tr[u][c] = ++size;
		u = tr[u][c];
	}
	tag[u] = 1;
}

IN void build() {
	int h = 0, t = 0, now;
	for(int i = 0; i < 10; i++) if (tr[0][i]) Q[++t] = tr[0][i];
	while (h < t) {
		now = Q[++h];
		for(int i = 0; i < 10; i++)
			if (tr[now][i]) tag[tr[now][i]] |= tag[fail[tr[now][i]] = tr[fail[now]][i]], Q[++t] = tr[now][i];
			else tr[now][i] = tr[fail[now]][i];
	}
}

IN void Add(int &x, int y) {if ((x += y - P) < 0) x += P;}
int main() {
	scanf("%s%d", n + 1, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%s", s), insert();
	build(), f[0][0][1][1] = 1;
	int len = strlen(n + 1);
	for(int i = 1; i <= len; i++) a[i] = n[i] - '0';
	for(int i = 0; i < len; i++)
		for(int l = 0; l < 2; l++)
			for(int k = 0; k <= (l ? a[i + 1] : 9); k++) {
				if (!tag[tr[0][k]]) Add(f[i + 1][k ? tr[0][k] : 0][l & (k == a[i + 1])][!k], f[i][0][l][1]);
				for(int j = 0; j <= size; j++)
					if (!tag[tr[j][k]]) Add(f[i + 1][tr[j][k]][l & (k == a[i + 1])][0], f[i][j][l][0]);
			}
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i <= size; i++)
		for(int j = 0; j < 2; j++)
			for(int k = 0; k < 2; k++) Add(ans, f[len][i][j][k]);
	printf("%d\n", (ans - 1 + P) % P);
}

\(\text{[USACO12JAN]Video Game G}\)

这个题就一样一样的了

要初始化

$\text{Code}$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define IN inline
using namespace std;

const int N = 305, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, size;
int tag[N], tr[N][3], fail[N], Q[N], f[N << 2][N];
char s[21];

IN void insert() {
	int len = strlen(s), u = 0, c;
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		c = s[i] - 'A';
		if (!tr[u][c]) tr[u][c] = ++size;
		u = tr[u][c];
	}
	tag[u] = 1;
}

IN void build() {
	int h = 0, t = 0, now;
	for(int i = 0; i < 3; i++) if (tr[0][i]) Q[++t] = tr[0][i];
	while (h < t) {
		now = Q[++h];
		for(int i = 0; i < 3; i++)
			if (tr[now][i]) tag[Q[++t] = tr[now][i]] += tag[fail[tr[now][i]] = tr[fail[now]][i]];
			else tr[now][i] = tr[fail[now]][i];
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s), insert();
	memset(f, -INF, sizeof f);
	build(), f[0][0] = 0;
	for(int i = 0; i < m; i++)
		for(int j = 0; j <= size; j++)
			for(int k = 0; k < 3; k++)
				f[i + 1][tr[j][k]] = max(f[i + 1][tr[j][k]], f[i][j] + tag[tr[j][k]]);
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i <= size; i++) ans = max(ans, f[m][i]);
	printf("%d\n", ans);
}

\(\text{CF808G Anthem of Berland}\)

好久没写 \(AC\) 自动机上 \(dp\) 了

然而这道题是 \(KMP\) 自动机，实际上不过是只有一个串的 \(AC\) 自动机

温习了一下写法，注意 \(fail\) 初始化！！！

根的儿子结点的 \(fail\) 要先初始化为根本身

$\text{Code}$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
int tr[N][26], fail[N];
char s1[N], s2[N];

int main() {
    scanf("%s%s", s1 + 1, s2 + 1);
    int len1 = strlen(s1 + 1), len2 = strlen(s2 + 1);
    for(int i = 1; i <= len2; i++) tr[i - 1][s2[i] - 'a'] = i;
    for(int i = 1; i <= len2; i++)
        for(int j = 0; j < 26; j++)
            if (tr[i][j]) fail[tr[i][j]] = tr[fail[i]][j];
            else tr[i][j] = tr[fail[i]][j];
    vector<vector<int>> f(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, -1e9));
    f[0][0] = 0;
    for(int i = 0; i < len1; i++) {
        for(int j = 0; j <= len2; j++) if (f[i][j] != -1e9) {
            if (s1[i + 1] != '?') {
                int ch = tr[j][s1[i + 1] - 'a'];
                f[i + 1][ch] = max(f[i + 1][ch], f[i][j] + (ch == len2));
                continue;
            }
            for(int k = 0; k < 26; k++)
                f[i + 1][tr[j][k]] = max(f[i + 1][tr[j][k]], f[i][j] + (tr[j][k] == len2));
        }
    }
    int ans = -1e9;
    for(int i = 0; i <= len2; i++) ans = max(ans, f[len1][i]);
    printf("%d\n", ans);
}