[IOI 1994]数字三角形

数字三角形

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描述

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

      (图1)

图1给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。

输入

输入的是一行是一个整数N(100>=N>=1)，给出三角形的行数。下面的N行给出数字三角形。数字三角形上的数的范围都在0和100之间。

输出

输出最大的和。

样例输入

5
7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

样例输出

30

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思路

1.搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105][105],s;
int dfs(int i,int j)
{
	if(i==s)
		return a[i][j];
	return a[i][j]+max(dfs(i+1,j),dfs(i+1,j+1));
}
int main()
{
	cin>>s;
	for(int i=1;i<=s;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	cout<<dfs(1,1);
	return 0;
}

时间复杂度为\(O（2^n）\),最大为\(O(2^{100}),\)超时。

2.记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105][105],s,b[105][105];
int dfs(int i,int j)
{
	if(i==s)
		return a[i][j];
	if(b[i][j]!=0)
		return b[i][j];
	b[i][j]=a[i][j]+max(dfs(i+1,j),dfs(i+1,j+1));
	return b[i][j];
}
int main()
{
	cin>>s;
	for(int i=1;i<=s;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	cout<<dfs(1,1);
	return 0;
}

由于每个位置只搜索了一次，所以时间复杂度为\(O（n^2）\),通过 ! ! !

3.递推(顺推)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105][105],s;
int main()
{
	cin>>s;
	cin>>a[1][1];
	for(int i=2;i<=s;i++)
	{
		cin>>a[i][1];
		a[i][1]+=a[i-1][1];
		for(int j=2;j<=i;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			a[i][j]+=max(a[i-1][j],a[i-1][j-1]);
		}
	}
	int maxx=-1;
	for(int j=1;j<=s;j++)
		maxx=max(maxx,a[s][j]);
	cout<<maxx;
	return 0;
}

同样，时间复杂度为\(O（n^2）\),通过 。

4.递推(逆推)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105][105],s;
int main()
{
	cin>>s;
	for(int i=1;i<=s;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	for(int i=s-1;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
	cout<<a[1][1];
	return 0;
}

不用多说，时间复杂度也为\(O（n^2）,\)通过。

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&nbsp 以上便是此题的多种解法，欢迎下次再来。