【APIO2016】Fireworks[DP 可并堆维护凸包优化]

4585: [Apio2016]烟火表演

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Description

烟花表演是最引人注目的节日活动之一。在表演中，所有的烟花必须同时爆炸。为了确保安

全，烟花被安置在远离开关的位置上，通过一些导火索与开关相连。导火索的连接方式形成

一棵树，烟花是树叶，如[图1]所示。火花从开关出发，沿导火索移动。每当火花抵达一个分

叉点时，它会扩散到与之相连的所有导火索，继续燃烧。导火索燃烧的速度是一个固定常

数。[图1]展示了六枚烟花{E1,E2...E6 }的连线布局，以及每根导火索的长度。图中还标

注了当在时刻从开关点燃火花时，每一发烟花的爆炸时间。

Hyunmin为烟花表演设计了导火索的连线布局。不幸的是，在他设计的布局中，烟花不一定

同时爆炸。我们希望修改一些导火索的长度，让所有烟花在同一时刻爆炸。例如，为了让[图

1]中的所有烟花在时刻 13爆炸，我们可以像[图2]中左边那样调整导火索长度。类似地，为

了让[图1]中的所有烟花在时刻 14爆炸，我们可以像[图2]中右边那样调整长度。

修改导火索长度的代价等于修改前后长度之差的绝对值。例如，将[图1]中布局修改为[图2]

左边布局的总代价为6 ，而将[图1]中布局修改为[图2]右边布局的总代价为 5.

导火索的长度可以被减为0 ，同时保持连通性不变。

给定一个导火索的连线布局，你需要编写一个程序，去调整导火索长度，让所有的烟花在同

一时刻爆炸，并使得代价最小。

Input

所有的输入均为正整数。令 N代表分叉点的数量， M代表烟花的数量。分叉点从1 到N 编

号，编号为1 的分叉点是开关。烟花从N+1 到 N+M编号。1<=N+M<=300,000

输入格式如下：

N M

P₂ C₂

P₃ C₃

...

P_n C_n

P_N+1 C_N+1

...

P_N+m C_N+M

其中Pi 满足 1<=Pi<i，代表和分叉点或烟花i 相连的分叉点。 Ci代表连接它们的导火索长

度( 1<=Ci<=10^9)。除开关外，每个分叉点和多于1 条导火索相连，而每发烟花恰好与 1条导

火索相连。

Output

输出调整导火索长度，让所有烟花同时爆炸，所需要的最小代价

Sample Input

4 6
1 5
2 5
2 8
3 3
3 2
3 3
2 9
4 4
4 3

Sample Output

HINT

Source

可并堆

　　考虑一个点f(x)表示将这个点子树所有叶节点深度变成x的最小代价

　　发现是个下凸函数，并且是线性的

　　对于一个点，假设f(x=[L,R])取得最小值

　　考虑加上到父亲的边权w

　　　　if(x<=L) f(x)=f(x)+w

　　　　if(L<x<=L+w) f(x)=f(L)+w-(x-L)

　　　　if(L+w<x<=R+w) f(x)=f(L)

　　　　if(x>R+w) f(x)=f(L)+x-R-w

　　发现实际上是把第一段向上平移，中间加入斜率为-1,0,1的直线

　　把多个合并起来，右边的斜率最大值就是其度数

　　那么我们考虑它到父亲贡献时，把斜率为正的点都pop掉

　　然后暴力添加拐点即可，每次只会加2个

　　合并就直接用可并堆了，我写的左偏树

　　最后取出1这个点的最小值时，我们是这样计算的

　　把斜率>=0的都pop掉，提取1-L的所有点

　　f(0)=∑树边权，然后斜率每次-1直到0

　　那么从右往左减就可以了

　　sum-=p[i]可以理解为把p[i]的斜率=-1的贡献算进去，然后前面所有直线斜率-=1

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=6e5+;

char *buf=(char *)malloc(<<),*is=buf,*it=buf;

#define getc() (is==it&&(it=(is=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),is==it)?0:*is++)

ll sum,v[N];

int n,m,fa[N],son[N],dis[N];int tot,rt[N],l[N],r[N];

inline void read(int &x){

    int f=;x=;char ch=getc();

    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getc();}

    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getc();}

    x*=f;

}

int merge(int x,int y){

    if(!x||!y) return x+y;

    if(v[x]<v[y]) swap(x,y);

    r[x]=merge(r[x],y);

    swap(l[x],r[x]);

    return x;

}

inline int pop(int x){

    return merge(l[x],r[x]);

}

void dfs(int x){

    if(!x) return ;

    sum-=v[x];

    dfs(l[x]);

    dfs(r[x]);

}

int main(){

    read(n);read(m);

    for(int i=,x,y;i<=n+m;i++){

        read(fa[i]);read(dis[i]);

        son[fa[i]]++;sum+=dis[i];

    }

    for(int i=n+m;i>;i--){

        ll L=,R=;

        if(son[i]){

            while(--son[i]) rt[i]=pop(rt[i]);

            R=v[rt[i]];rt[i]=pop(rt[i]);

            L=v[rt[i]];rt[i]=pop(rt[i]);

        }

        v[++tot]=L+dis[i];

        v[++tot]=R+dis[i];

        rt[i]=merge(rt[i],merge(tot-,tot));

        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);

    }

    while(son[]--) rt[]=pop(rt[]);

    dfs(rt[]);

    cout<<sum;

    return ;

}