洛谷 P4240 毒瘤之神的考验 解题报告

P4240 毒瘤之神的考验

题目背景

\(\tt{Salamander}\)的家门口是一条长长的公路。

又是一年春天将至，\(\tt{Salamander}\)发现路边长出了一排毒瘤！

\(\tt{Salamander}\)想带一些毒瘤回家，但是，这时毒瘤当中钻出来了一个毒瘤之神！

毒瘤之神：你想要带毒瘤走吗？想要带走毒瘤，就必须回答我的问题！如果答不出来的话，你还是乖乖回家吧！

题目描述

毒瘤之神会问\(T\)次，每次给定\(n\),\(m\)，\(\tt{Salamander}\)需要回答出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij) \bmod 998244353\)。

\(\tt{Salamander}\)这么辣鸡当然不会做啦，于是把问题丢给了你。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数\(T\)。

接下来\(T\)行，每行包含两个正整数，用空格隔开，表示这次询问的\(n\),\(m\)。

输出格式：

包含\(T\)行每行一个整数表示答案。

说明

对于\(40\%\)的数据，\(T=1,n,m\leq 10^5\)；

对于\(50\%\)的数据，\(T\leq 1000,n,m\leq 10^5\)；

对于另外\(10\%\)的数据，\(T\leq 10000,n=m\leq 10^5\)；

对于\(100\%\)的数据，\(T\leq 10^4,n,m\leq 10^5\)。

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辣鸡\(\tt{Dew}\)又双叒叕做了20年这个题...

经验：

• \[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}
  \]

• 1e5的多组数据，千万别嫌吝啬预处理的复杂度，\(\log\ln\)什么的随便往上扔

推式子一波得到

\[\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}\varphi(iT)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\varphi(jT)\sum_{k|T}\frac{k}{\varphi(k)}\mu(\frac{T}{k})
\]

发现万恶之源了吗，\(\varphi\)上面的\(T\)...

先不管那么多，把式子简化一下。

\[\mathbf G(i,j)=\sum_{k=1}^j\varphi(ki),\mathbf f(i)=\sum_{k|i}\frac{k}{\varphi(k)}\mu(\frac{i}{k})
\]

注意\(\bf G\)的可用值只有\(n\ln n\)个，所以可用简单的拿\(vector\)存一下，\(\bf f\)直接\(n\sqrt n\)做就好了。

式子变成了

\[\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\mathbf G(T,\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\mathbf G(T,\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\mathbf f(T)
\]

多组询问的话，我们可以对询问进行分块。

预处理

\[\mathbf T(k,i,j)=\sum_{i=1}^k\mathbf G(k,i)\mathbf G(k,j)\mathbf f(k)
\]

注意这个数组同样要使用\(vector\)存一下不可能使用的值,否则就爆了。

考虑后两维预处理到\(U\),那么预处理的复杂度可以简单的认为是\(O(U^2n)\)的。

在询问的时候，根据\(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\)或者\(\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\)与\(U\)的大小关系判断一下。

具体的，若\(\min(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor,\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\le U\),直接用前缀和\(\bf T\)做个差，复杂度最坏是\(O(\sqrt n)\)的

否则直接暴力，复杂度是\(O(\frac{n}{U})\)的

总复杂度是\(O(T(\sqrt n+\frac{n}{U})+n\ln n+n\sqrt n+nU^2)\)的

然后取个\(U=T^{\frac{1}{3}}\)大一点差不多最优了

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Code:

#include <cstdio>
#include <vector>
#define ll long long
const ll N=1e5;
const ll U=30;
const ll mod=998244353;
ll pri[N+10],ispri[N+10],mu[N+10],phi[N+10],phiinv[N+10],f[N+10],cnt;
std::vector <ll> G[N+10],T[U+1][U+1];
ll quickpow(ll d,ll k)
{
    ll f=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) f=f*d%mod;
        d=d*d%mod;
        k>>=1;
    }
    return f;
}
void init()
{
    mu[1]=phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {

                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*pri[j]]=-mu[i];
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
            }
        }
    }
    for(ll i=1;i<=N;i++)
        phiinv[i]=quickpow(phi[i],mod-2);
    for(ll i=1;i<=N;i++)
    {
        ll j;
        for(j=1;j*j<i;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                (f[i]+=j*phiinv[j]%mod*mu[i/j])%=mod;
                (f[i]+=i/j*phiinv[i/j]%mod*mu[j])%=mod;
            }
        }
        if(j*j==i) (f[i]+=j*phiinv[j]%mod*mu[j])%=mod;
    }
    for(ll i=1;i<=N;i++)
    {
        G[i].push_back(0);
        for(ll j=1;j*i<=N;j++)
            G[i].push_back((G[i][j-1]+phi[i*j])%mod);
    }
    for(ll i=1;i<=U;i++)
    {
        for(ll j=1;j<=U;j++)
        {
            T[i][j].push_back(0);
            for(ll k=1;k*i<=N;k++)
                T[i][j].push_back((T[i][j][k-1]+f[k]*G[k][i]%mod*G[k][j])%mod);
        }
    }
}
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
int main()
{
    init();
    ll t,n,m;scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);ll ans=0;
        for(ll l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            if(max(n/l,m/l)<=U) (ans+=T[n/l][m/l][r]-T[n/l][m/l][l-1])%=mod;
            else
            {
                for(ll i=l;i<=r;i++)
                    (ans+=G[i][n/l]*G[i][m/l]%mod*f[i])%=mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

---

2018.11.26