uva11426 GCD Extreme(II)

题意：求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n)1<n<4000001

思路：

1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。

3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表

用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cassert>

 using namespace std;
 const int maxn = ;
 #define LL long long
 #define clc(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 LL S[maxn],f[maxn];
 LL phi[maxn];
 void phi_table(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
         phi[i]=;
     phi[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(phi[i]==)
         {
             for(int j=i;j<=n;j+=i)
             {
                 if(!phi[j])
                     phi[j]=j;
                 phi[j]=phi[j]/i*(i-);
             }
         }
     }
 }

 int main()
 {
     phi_table(maxn);
     clc(f,);
     for(int i=;i<=maxn;i++)
     {
         for(int n=i*;n<=maxn;n+=i)
             f[n]+=i*phi[n/i];
     }
     S[]=f[];
     for(int n=;n<=maxn;n++)
         S[n]=S[n-]+f[n];
     int n;
     while(scanf("%d",&n),n)
     {
         printf("%lld\n",S[n]);
     }
     return ;
 }