A * B Problem Plus

A * B Problem Plus

题目链接：http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

FFT

（FFT的详细证明参见算法导论第三十章）

一个多项式有两种表达方式：

1.系数表示法，系数表示的多项式相乘，时间复杂度为O（n^2）；

2.点值表示法，点值表示的多项式相乘，时间复杂度为O（n）.

简单的说，FFT能办到的就是将系数表示的多项式转化为点值表示，其时间复杂度为O（nlgn），而将点值表示的多项式转化为系数表示需要IFFT（FFT的逆运算），其形式与FFT相似，时间复杂度也为O（nlgn）.

这道题需要用FFT将两个大数转化为点值表示，相乘后再用IFFT将点值表示转化回系数表示，总时间复杂度为O（nlgn）.

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #define N 200005
 using namespace std;
 const double pi=acos(-1.0);
 struct Complex{
     double r,i;
     Complex(double r=,double i=):r(r),i(i){};
     Complex operator + (const Complex &rhs){
         return Complex(r+rhs.r,i+rhs.i);
     }
     Complex operator - (const Complex &rhs){
         return Complex(r-rhs.r,i-rhs.i);
     }
     Complex operator * (const Complex &rhs){
         return Complex(r*rhs.r-i*rhs.i,i*rhs.r+r*rhs.i);
     }
 }a[N],b[N],c[N];
 char s1[N],s2[N];
 int ans[N],n1,n2,len;
 inline void sincos(double theta,double &p0,double &p1){
     p0=sin(theta);
     p1=cos(theta);
 }
 void FFT(Complex P[], int n, int oper){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         for(int s=n;j^=s>>=,~j&s;);
         if(i<j)swap(P[i],P[j]);
     }
     Complex unit_p0;
     for(int d=;(<<d)<n;d++){
         int m=<<d,m2=m*;
         double p0=pi/m*oper;
         sincos(p0,unit_p0.i,unit_p0.r);
         for(int i=;i<n;i+=m2){
             Complex unit=;
             for(int j=;j<m;j++){
                 Complex &P1=P[i+j+m],&P2=P[i+j];
                 Complex t=unit*P1;
                 P1=P2-t;
                 P2=P2+t;
                 unit=unit*unit_p0;
             }
         }
     }
     if(oper==-)for(int i=;i<len;i++)P[i].r/=len;
 }
 void Conv(Complex a[],Complex b[],int len){//求卷积
     FFT(a,len,);//FFT
     FFT(b,len,);//FFT
     for(int i=;i<len;++i)c[i]=a[i]*b[i];
     FFT(c,len,-);//IFFT
 }
 void init(char *s1,char *s2){
     len=;
     n1=strlen(s1),n2=strlen(s2);
     while(len<*n1||len<*n2)len<<=;
     int idx;
     for(idx=;idx<n1;++idx){
         a[idx].r=s1[n1--idx]-'';
         a[idx].i=;
     }
     while(idx<len){
         a[idx].r=a[idx].i=;
         idx++;
     }
     for(idx=;idx<n2;++idx){
         b[idx].r=s2[n2--idx]-'';
         b[idx].i=;
     }
     while(idx<len){
         b[idx].r=b[idx].i=;
         idx++;
     }
 }
 int main(void){
     while(scanf("%s%s",s1,s2)==){
         init(s1,s2);
         Conv(a,b,len);
         for(int i=;i<len+len;++i)ans[i]=;//93ms
         //memset(ans,0,sizeof(ans));//140ms
         int index;
         for(index=;index<len||ans[index];++index){
             ans[index]+=(c[index].r+0.5);
             ans[index+]+=(ans[index]/);
             ans[index]%=;
         }
         while(index>&&!ans[index])index--;
         for(;index>=;--index)printf("%d",ans[index]);
         printf("\n");
     }
 }