Luogu P2568 GCD
我们首先发现这样肯定是做不了的,所以我们枚举为\(gcd(x,y)=d\)的\(d\)
然后考虑以下的性质:
\(gcd(x,y)=1 \Leftrightarrow gcd(px,py)=p(p为素数)\)
这个很显然吧,因此当我们枚举素数\(d\)时只需要计算\(x,y\in[1,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\)且\(gcd(x,y)=1\)的有序\(x,y\)对数即可。
我们假定\(x<=y\),那么很容易结合欧拉函数的性质得出此时对答案的贡献为\(2\cdot\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\phi(i)-1\)
这个比较显然吧,假定\(i\in[1,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\)为较大的那个,所以无序的对数就是\(\phi(i)\),由于有序所以乘2。最后注意一下\((1,1)\)会被计算两次要减去。
最后给欧拉函数记一个前缀和即可。
CODE
#include<cstdio>
#define RI register int
using namespace std;
const int P=1e7;
int prime[P+5],phi[P+5],cnt,n; long long ans,sum[P+5]; bool vis[P+5];
inline void resolve(int x)
{
vis[1]=phi[1]=1; sum[1]=2; for (RI i=2;i<=n;++i)
{
if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for (RI j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j)
{
vis[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
else { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }
}
sum[i]=sum[i-1]+(phi[i]<<1);
}
}
int main()
{
RI i; scanf("%d",&n); for (resolve(n),i=1;i<=cnt;++i)
ans+=sum[n/prime[i]]-1; return printf("%lld",ans),0;
}
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