题解-P3810

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

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前置算法

• 树状数组求逆序对
• 归并排序求逆序对

解题之前，让我们来看一看弱化版本 \(\to\) 二维偏序

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题意

给定两个长度为数组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，\(b_1,b_2,\dots,b_n\) 求对于每一个 \(i\)，\(a_j\le a_i\) 且 \(b_j\le b_i\) 的 \(j\) 有多少个。

解法1

考虑用结构体把数组存起来，对 \(a\) 进行排序，再用一个值域树状数组维护 \(b\) 值即可。

还没完。由于可能出现 \(a_i=a_j\) 且 \(b_i=b_j\) 的情况，所以需要去重。

提到去重，就要在结构体里面多加一个 \(x\) 。 \(x_i\) 表示与 \(a_j=a_i,b_j=b_i\) 的 \(j\) 的个数，\(x_i\) 初始为 \(1\)

去重毒瘤的要死

解法2

还是用结构体存，对 \(a\) 进行排序+去重，后面考虑用归并排序来求

回想一下归并排序求逆序对，我们求的是 \(a_i\) 作为逆序对 \((j,i)\) 的 \(j\) 的总个数。

在这里，\(a\) 已经按大小排好了，所以我们只考虑对 \(b\) 值求逆序对就行了。

深刻注意解法2

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三维偏序

第一步

和二维偏序一样，先按 \(a\) 值排好序，去重

第二步

为了简化题目，先考虑简易版本不存在 \(a_i=a_j\) 且 \(b_i=b_j\) 且 \(c_i=c_j\) 的情况，标准版本放在第三步。

进入到今天的正题： CDQ 讲解部分。

CDQ 分治，顾名思义，是一种分治。而分治，就需要把 \([l,r]\) 分为 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 。而对于我们要寻找的一个符合 \(a_j\le a_i,b_j\le b_i,c_j\le c_i\) 的点对 \((i,j)\) 必须符合以下三种情况之一：

1. \(1\le i,j\le mid\gets\) 这在递归处理左半边时已经处理了
2. \(mid\lt i,j\le n\gets\) 这在递归处理右半边时已经处理了
3. \(1\le i,j\le n\gets\) 这是我们在递归之后需要处理的点对

按分治三部曲走，接下来就是合并左右区间并统计答案了了，这里按归并排序求逆序对的思路来。

由于 \(a,b\) 值都被我们处理好了，接下来就是毒瘤的 \(c\) 值，用树状数组维护。

在合并中，我们分两种情况：

1. 此时的最小值在左，那么我们让树状数组的左边那个数的 \(c\) 值位置加一
2. 此时的最小值在右，那么我们让答案加上树状数组从 \(1\) 到右边数的 \(c\) 值位置的和

如果搞不懂为什么左是加，右是查，建议重新看一看归并排序求逆序对。

注意：每一次使用完后树状数组要清空。如果单纯 memset，会超时（因为是 \(O(n)\) ），清空应该对于每一个被存放在树状数组里的 \(c_i\) ，其在树状数组里面的值 \(-1\)

int tmp[maxn]; // 临时存放合并好的值的数组
void CDQ(int l,int r){
	if(l == r) return;　
	int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
	CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r); // 递归处理
	while(p <= mid && q <= r){ // 合并子区间
		if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,1),tmp[++len] = a[p++]; // 选左边，此时更新树状数组
		else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; // 选右边，此时答案要加上值域树状数组的查询
	}
	while(p <= mid) bit.update(a[p].c,1),tmp[++len] = a[p++]; // 归并左边剩下部分
	while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; // 归并右边剩下部分
	for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-1); // 清空
	for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i]; // 把临时数组里的值拷贝到原数组
}

第三步

由于第二步只能处理不存在相同的情况，接下来讲解如果存在 \(a_i=a_j,b_i=b_j,c_i=c_j\) 的 \((i,j)\) 该怎么处理。

注意刚才我们树状数组是这样更新的：bit.update(a[p].c,1)

这里的 1 实际上就是 \(a_s=a_p,b_s=b_p,c_s=c_p\) 的 \(s\) 的个数，记为 \(x\) ，\(x_i\) 我们在去重时求出。

因此代码如下：

int tmp[maxn];　
void CDQ(int l,int r){
	if(l == r) return;
	int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
	CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r);
	while(p <= mid && q <= r){
		if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
		else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
	}
	while(p <= mid) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
	while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
	for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-a[i].x);
	for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i];
}

第四步

这时 CDQ 分治已经完成了，我们现在需要统计答案

按照刚才的代码，a[i].ans 表示 \(a_j\le a_i,b_j\le b_i,c_j\le c_i\) 但不包括 \(a_j=a_i,b_j=b_i,c_j=c_i\) 的 \(j\) 的个数，而 a[i].x 正好表示了 \(a_j=a_i,b_j=b_i,c_j=c_i\) 的 \(j\) 的个数。于是 a[i].ans + a[i].x 就是去重后第 \(i\) 个点的答案。

for(int i = 1;i <= cnt;++i) res[a[i].ans + a[i].x - 1] += a[i].x; // 注意是 + a[i].x，因为还有与 i 值相同所有 j，其总个数是 a[i].x
for(int i = 0;i < n;++i) printf("%d\n",res[i]);

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\(\color{#52C41A}\texttt{AC CODE}\)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
const int maxn = 114514;
int n,k;
struct BIT{
	int t[maxn << 1];
	int lowbit(int i){return i & -i;}
	void update(int i,int x){for(;i <= k;i += lowbit(i)) t[i] += x;}
	int query(int i){int ans = 0;for(;i;i -= lowbit(i)) ans += t[i];return ans;}
} bit; // 树状数组
struct number{
	int a,b,c,ans,x;
	bool operator<(const number& y) const{return a != y.a ? a < y.a : b != y.b ? b < y.b : c < y.c;}
} a[maxn],tmp[maxn]; // 数的结构体
int res[maxn];
void CDQ(int l,int r){
	if(l == r) return;
	int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
	CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r);
	while(p <= mid && q <= r){
		if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
		else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
	}
	while(p <= mid) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
	while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
	for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-a[i].x);
	for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].c),a[i].x = 1,a[i].ans = 0;
	std::sort(a + 1,a + n + 1); // 排序
	int cnt = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i)
		if(a[i].a == a[cnt].a && a[i].b == a[cnt].b && a[i].c == a[cnt].c) ++a[cnt].x; // 如果遇到与 i 一样的，x 值就要自加一
		else a[++cnt] = a[i];
	CDQ(1,cnt); // 注意不是 CDQ(1,n)
	for(int i = 1;i <= cnt;++i) res[a[i].ans + a[i].x - 1] += a[i].x;
	for(int i = 0;i < n;++i) printf("%d\n",res[i]);
	return 0;
}