AT1983-[AGC001E]BBQ Hard【dp,组合数学】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT1983

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题目大意

给出\(n\)个数对\((a_i,b_i)\)

求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}
\]

\(1\leq n\leq 2\times 10^5,1\leq a_i,b_i\leq 2000\)

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解题思路

啊遇到这种题目直接上组合意义 \(\color{white}{组合意义天地灭}\)

然后发现\(a_{i},b_i\)很小。上面那个组合数可以变成横着走\(a_i+a_j\)步，竖着走\(b_i+b_j\)步的方案。

之后理解为从\((-a_i,-b_i)\)走到\((a_j,b_j)\)就可以分离\(i,j\)了。

因为很小，直接多起点走一次求和就好了，要减去重复的部分。

时间复杂度\(O(n+max\{a_i\}\times max\{b_i\})\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,M=4500,P=1e9+7;
ll n,a[N],b[N],f[M][M],fac[N],inv[N],ans;
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	inv[0]=fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
		f[2001-a[i]][2001-b[i]]++;
	}
	for(ll i=1;i<=4002;i++)
		for(ll j=1;j<=4002;j++)
			(f[i][j]+=f[i-1][j]+f[i][j-1])%=P;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		(ans+=f[2001+a[i]][2001+b[i]]%P)%=P;
		(ans-=C(2*a[i]+2*b[i],2*a[i]))%=P;
	}
	printf("%lld\n",(ans+P)*inv[2]%P);
	return 0;
}