DP 题集 1

关于 DP 的一些题目

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参考资料

• [Tutorial] Non-trivial DP Tricks and Techniques

DP

• Rain and Umbrellas
• Mr. Kitayuta, the Treasure Hunter
• Power of String 首先我们最多只会在一种字母中选择部分个，否则要么都选，要么都不选。以及我们一定会把其他字母转化成一种字母。枚举要转化成的字母以及可能选部分的字母，然后就是01背包DP。复杂度\(O(26^3k)\)
• Fibonacci String Subsequences 对于这类字符串计数DP，一般就要考虑怎么去拼接字符串，DP的状态和字符串的子串有关。\(dp[i][l][r]\) 表示到第 \(i\) 个 Fibonacci 串时，包含了目标串的子串 \([l,r]\) 的子序列的个数。
• Gerald and Giant Chess 考虑到 \(k=2000\)，所以 DP 的状态必然是和障碍物有关的，\(dp[i]\)表示到达第 \(i\) 个障碍物的路径上没有经过其它障碍物的方案数。
• Buggy Robot \(dp[x][y][i]\) 表示到 \((x,y)\) 这个点，在字符串中走到了第 \(i\) 个位置的最小花费。在 \(BFS\) 中进行状态转移，转移复杂度 \(O(1)\)。
• Group Projects 学到一个DP姿势。分组计数，\(dp[i][j][k]\)表示到第 \(i\) 个人时，有 \(j\) 个组还是开放的（即可以被选择）不公平的值的和为 \(k\) 时的方案数。关键就是开放的组这一维，枚举 \(a[i]\) ，我们可以去定义他的行为，是独自成组？还是加入别的组？还是新建一个开放的组？还是加入一个组并关闭这个组？显然不同的行为对应不同的状态转移。还有由于我们知道了开放的组的数量\(j\) ，考虑 \((a[i]-a[i-1])*j\) (\(i\neq0\))(\(a\) 数组先排序) ，就是那些仍然开放的组需要加的不公平的值的和。
• Increase Sequence \(dp[i][j]\) 表示到第 \(i\) 个数时，有 \(j\) 个还未关闭的区间的方案数（这里未关闭的意思是还没有确定区间的右端点）。显然考虑每一个还未关闭的区间，都会给当前点加上 \(1\) ，据此可以推出状态转移方程了。时间复杂度 \(O(n)\)。
• Sereja and Intervals \(dp[i][j][k]\) 表示到第 \(i\) 个数时，还有 \(j\) 个未关闭的区间，已经关闭了 \(k\) 个区间的方案数。对于每个数，考虑是关闭前面的区间呢（显然只能关闭第一个未关闭的区间）？还是新开一个区间？还是不管这个数。
• Ducks in a Row 可以发现翻转的区间一定不相交，所以可以考虑 \(DP\)。\(dp[o][i][j][k]\) 表示到 \(o\) 这个位置，前面是否翻转 ( \(i\) )，连续的 \(D\) 的数量为 \(j\) ，符合条件的\(D\)连续段的数量为 \(k\) 时所需的最小翻转次数。因为 \(j*k\leq\)字符串的长度。所以时间复杂度 \(O(n^2)\)。
• Spinning Up Palindromes \(dp[l][r][i][j]\) 表示 \(S[1...l]\) 等于 \(S[r...n]\) 时从 \(dp[l-1][r+1][i'][j']\) 转移过来，\(l+1\) 是否需要向 \(l\) 进位 (\(i\)) ，\(r\) 从 \(r+1\) 得到的进位为 \(j\) 时的最小花费。转移怎么好写怎么来，大力枚举使得两边相同时要加的数即可。因为 \(l\) 和 \(r\) 具有相关性，所以数组可以写成 \(dp[l][i][j]\)。
• Eighty seven 考虑前缀后缀，开两个 \(bitset\) 类型的 \(DP\) 数组，以前缀为例，\(dp[i][j][k]\) 表示到第 \(i\) 个数，一定不选 \(j\) 这个位置上的数，选了 \(k\) 个数时所有可能的和（二进制位为\(1\)表示有这样的和）。对于后缀的数组，如果二进制位 \(i\) 上的数字为\(1\)，可修改为 \(bit[87-i]=1\)，那么对于询问，枚举 \(k\) ，将前缀后缀按位与，检查是否有二进制位为\(1\)。
• Candy Chain \(f[l][r]\) 表示删掉 \(S[l...r]\) 这个子串能得到的最多的钱。然后 \(dp[i] = max(dp[i-1], dp[j] + f[j+1][i]) (j < i)\) ，\(dp[len(S)]\) 即为答案。预处理 \(f[l][r]\)，枚举 \(S\) 的子串 \(s\) 以及所有的待匹配串 \(t\) ，令 \(g[i][j]\) 表示 \(s[1...i]\) 删除一些字符（或不删）等于 \(t[1..j]\) 时得到的最多的钱。\(f[l][r]=g[r][len(t)]\)。也可以用字典树优化，将待匹配串建树，同样枚举子串，然后有 \(g[i][j]\) 表示以 \(i\) 结尾的字符串在字典树上的状态为 \(j\) 时可以得到的最多的钱，\(f[l][r]=g[r][0]\)。有三种转移，要么在字典树上向下走，要么删掉一个区间（可以借助已经计算出的 \(f[l][r]\) 转移），要么删掉 \(j\) 这个状态代表的字符串。
• Mahmoud and Ehab and yet another xor task 考虑异或集合的性质（对于任意两个数，他们的异或值都在集合中），对于一个数 \(a[i]\) 如果 \(a[i]\) 不在集合中，那么对于集合中的任意数 \(x\)， \(a[i]\ xor\ x\) 都不会在集和中。维护一个集合，枚举 \(a[i]\) ，如果发现 \(a[i]\) 已经在集合中，所有数的构成方案数都翻倍，否则把这个数和集合中所有的数分别异或并加入集合。可以发现这样需要离线处理，另一种做法，通过预处理线性基在线回答询问。
• Compute Power 求最小比率，二分答案 \(x\) ，若存在更优的答案，则有 \(\sum\frac{a_i}{b_i}<x\)，判断是否存在 \(\sum{a_i}-x*{b_i}<0\)。先把给的东西按 \(a\) 从大到小排序，考虑 \(dp[i][j][k]\) 表示到第 \(i\) 个时，等于 \(a[i]\) 的数量为 \(j\) ，大于的数量为 \(k\)，根据是否选择进行转移。

树形DP

• Appleman and Tree
• Counting on Tree
• Tree Pruning 虽然 \(O(nk^2)\) 可以过，但是有\(O(nk)\)的做法，考虑先预处理出 DFS 序再 DP。
• Road Improvement 0 没有逆元，所以不能直接除。对于一个结点，他的兄弟结点的方案数的乘积可以通过预处理前缀后缀得到。

状态压缩DP

• Little Pony and Harmony Chest 状态中0/1表示是否存在某个素数，最多只有17个素因子。
• Remembering Strings 一维数组，时间复杂度\(O(m2^n)\)。状态中0/1表示某个单词是否变成好记的单词了。
• Another Sith Tournament \(dp[i][S]\) 表示擂主为 \(i\) 时，活着的人状态为 \(S\) 时主角能获胜的概率，\(dp[0][1]=1\)。时间复杂度\(O(n^22^n)\)。
• Exciting Finish! 注意到题目求的是有多少种不同的排名，即分数不同排名相同属于同一种情况。又分配的分数呈不下降，所以当我们分配一个分数给某人时，可以当成也给其他未分配的人分配了相同的分数，那么要使一个人的分数变成最大，只需要比较初始分数即可。\(dp[s][i][j]\) 表示人的状态为 \(s\) ，上一次分配的人是 \(i\)，还剩下分数 \(j\) 未分配的方案数。记忆化搜索实现。