DP 题集 2

关于 DP 的一些题目

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• String painter 先区间 DP，\(dp[l][r]\) 表示把一个空串涂成 \(t[l,r]\) 这个子串的最小花费。再考虑 \(s\) 字符串，\(f[i]\) 表示前 \(i\) 个字符相同时的最小花费。
• Parade 单调队列优化 DP。
• Free Goodies 对于第一个人，她选择的顺序是固定的。第二个人想要选到全局最优，那么有 \(dp[i][j]\) 表示到第 \(i\) 个数时，选了 \(j\) 个数时的最大值，顺便再记录下第一个人选的最大值。
• Help Bubu 状态压缩 DP，有 \(dp[i][j][k][s]\) 表示到第 \(i\) 本书时，拿了 \(j\) 个出来，最后一本书的高度为 \(k\) ，书的高度的状态是 \(s\) 的最小混乱程度，计算最终答案时，对于拿出来的书，只有状态中没有对应的高度才会造成混乱度增加。
• Caves 树形 DP ，距离值太大，但是点数很小，考虑 \(dp[i][j][k]\) 表示以 \(i\) 为根结点的子树 ，从 \(i\) 出发走了 \(j\) 个点，是否 ( \(k=0\ or\ 1\) ) 回到根结点的最短距离。
• Masud Rana 状态压缩 DP ，期望 DP 。\(dp[S]\) ，\(S\) 转化成二进制后 0/1 表示某个点是否被走过，那么显然走过点都在一个联通块里，考虑下一次走到一个新的点（扩展联通块），还是仍然在联通块里，累加期望即可。
• Fund Management 状态压缩 DP 。首先，仅仅记录有哪些股票是不够的，考虑手数，不好设计状态。可以预处理状态转移，即从一种股票组合是否能通过买或卖到另一种股票组合（这样就不用管有哪些股票，有几手股票了）。
• Evacuation Plan 先分别排序，然后有 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个人分配到前 \(j\) 个避难所的最小花费。滚动数组优化，记录方案可以用 bool 类型的数组。
• Exclusive Access 2 经典模型：图的色数。 给一个无向图 \(G\) ，把图中的结点染成尽量少的颜色，使得相邻节点颜色不同，可以用状态压缩 DP 求解。回到这题，实际上是给出一个无向图，要求给无向边定向，使其无环且最长路最短。考虑给结点分层，要求每一层的结点之间没有边，那么最小层数即为图中的最长路加1 ，对于具体的边的定向，编号小的层中的结点的向编号大的层中的结点连边。分层实际就变成了图的色数问题，过程中记录下分层的方案即可。
• Mountain Road \(dp[i][j][k]\) 表示最后一个走的车是 \(k\) 这边的，\(A\) 边的车走了 \(i\) 辆，\(B\) 边的车走了 \(j\) 辆时的最小花费。
• Interstellar Travel 利用分块的思想优化，\(dp[d][i][j]\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 经过 \(d\) 条边的最短距离，\(f[d][i][j]\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 经过 \(100*d\) 条边的最短距离，对于询问边数 \(d\)，显然可以表示成 $ ( d%100, d/100) $ ，因为求的是至少 \(d\) 条边，所以再预处理下， \(g[d][i][j]\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的经过了至少 \(d\) 条边的最短距离。对于询问，枚举中间点 \(k\) ，$ min(f[d/100][s][k] + g[d%100][k][t]) $ 即为答案。
• Random Sequence \(dp[i][j][k][p]\) 表示到第 \(i\) 个数，\(j=gcd(a[i-2], a[i-1], a[i])\), \(k=gcd(a[i-1],a[i])\), \(p=a[i]\) 时对答案的贡献。实际合法的状态很少，预处理下即可。
• Hills And Valleys 预处理以某点开始或结尾的最长上升子序列长度，然后枚举要翻转的区间的值域 \([l,r]\) , 在这个约束下转移，实际上我们要确定的就是某个下降的子序列的起点和终点，转移的时候记录下起点，对于每个数都判断下是否可能为终点即可。
• Shoot Game 对于每个线段，向端点射击显然最优，再就是对于一个区间中的所有线段，最大权值的线段先射击一定不坏，考虑区间 DP ，将射击指向的方向按极角排序，区间 DP 的时候，对于一段区间，只需要考虑完全包含在这个区间中的线段。
• Histogram Coloring 计数 DP ，递归实现很方便 。
• Moving to Nuremberg 树形 DP 。经典模型，统计树中所有结点到某个结点的距离，本题中，可以把每年要去某个点的次数看作这个结点的 \(size\)。
• Binary Strings 矩阵快速幂优化 DP 。等比矩阵求和。
• 度度熊看球赛 应该算是比较经典的 计数 DP 了。\(dp[i][j]\) 表示前 \(2*i\) 个人，有 \(j\) 对情侣是挨着坐的方案数，考虑新来的两个人，要么坐一起，要么分开坐，要么拆散别人，要么不拆散。预处理下即可。
• Dinner Bet 概率 DP 。\(dp[i][j][k]\) 表示独属于第一个人的数字已经填了 \(i\) 个，独属于第二个人的数字已经填了 \(j\) 个，两人共有的数字填了 \(k\) 个时的还要进行的游戏轮数的期望。记忆化搜索，暴力枚举每次选 \(d\) 个数字的组合，然后转移即可。在转移的时候要考虑一个对状态有影响的数字都没选到的情况，\(dp = p0 * dp + p1 * dp1 + p2 * dp2 ....\) 可以通过移项变换成 $ dp = \frac{p1 * dp1 + p2 * dp2 + ....}{1 - p0} $ 。
• 公共子序列 考虑随机生成的数列有什么性质，相同的数必然很少，考虑经典的 LCS 是怎么转移的，只有所有序列中有相同的数字 ( 比方说 $a_i=b_j=c_k $ 我们称 \((i,j,k)\) 为一个状态 )，才能从前面转移过来，预处理所有这样的状态。状态总数不会很多，几乎是 \(n\) 的级别，再 \(O(n^2)\) DP 即可。
• 棋盘上的旅行 先考虑棋盘上只有 \(k\) 种颜色的情况，直接状态压缩 DP ，\(dp[S][x][y]\) 。但是棋盘颜色很多，怎么办？不妨压缩颜色的值域，所有颜色都对应到 \([1,k]\) （随机化），然后直接 DP 即可，考虑单次的正确性，\(\frac{k!}{k^k}\) （也就是我们选到的颜色恰好是一个排列），\(1000\) 次可以确保通过本题。
• Pop the Balloons 状态压缩 DP 。\(dp[i][S]\) 表示到第 \(i\) 列，已经爆炸的行数状态为 \(S\) 的方案数。这里会有一个问题，一个气球可能被同列的气球炸到，也有可能被同行后面的气球炸到，也就是说，存在决策，某一列一个气球都不炸，这样二进制就表示不了状态了。但是考虑每行最多只会炸一次，最外层的循环，可以枚举所有必然爆炸的行的状态 \(S\) （也就是说，我们假定这些行一定爆炸），一行爆炸后，后面的气球再也不能引爆了，所以在状态转移的时候，到某一列，所有存在的气球的状态，只有没爆炸过的气球才会爆炸，最后的结果就是 \(dp[n][S]\) ，时间复杂度 \(O(nm3^m)\)。通过暴力枚举，建立约束，优化了 DP 的状态表示。
• Fibonacci Subsequence 考虑从后往前 DP ，\(dp[i][j]\) 表示满足条件的序列倒数第二项是 \(a[i]\) ，最后一项是 \(a[j]\) 时的最大长度。找到 \(a[k]=a[i]+a[j]\) 的 \(k\) 来转移。
• Wrap Around 预处理 \(nxt[i][j]\) 表示模式串中长度为 \(i\) 的前缀串后面加个 \(j\) 后匹配到的最长前缀串的长度。\(dp[i][j][k][ok]\) 表示到长度 \(i\) 时，匹配了前缀长度为 \(j\) ，初始状态为 \(k\) ，是否出现过模式串的方案数。这里巧妙的地方在于我们枚举初始状态 \(k\) ，最后要回到初始状态，即当 \(i=n\) 时 \(j=k\) 以及 \(ok=1\) 时才得到一个合法的方案。
• Vasya and Big Integers 首先 Z-function。 \(dp[i]\) 表示 \(s[i...n]\) 可以表示出的合法的方案数。如果两个数字长度相同，那么从左到右第一位不同的数字就可以确定大小。预处理 \(z[i]\) 表示从 \(i\) 开始的字符串与原字符串的最长公共前缀长度，我们可以确定可以从哪些 \(dp[j] (j>i)\) 转移过来，即 \(s[i..j-1]\) 这个子串表示的数字在 \([l,r]\) 之间，这个利用后缀和优化。