uoj 48 核聚变反应强度 次小公因数

【UR #3】核聚变反应强度

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题目连接

http://uoj.ac/problem/48

Description

著名核物理专家 Picks 提出了核聚变特征值这一重要概念。

核聚变特征值分别为 x 和 y 的两个原子进行核聚变，能产生数值为 sgcd(x,y) 的核聚变反应强度。

其中， sgcd(x,y) 表示 x 和 y 的次大公约数，即能同时整除 x,y 的正整数中第二大的数。如果次大公约数不存在则说明无法核聚变， 此时 sgcd(x,y)=−1。

现在有 n 个原子，核聚变特征值分别为 a1,a2,…,an。然后 Picks 又从兜里掏出一个核聚变特征值为 a1 的原子，你需要计算出这个原子与其它 n 个原子分别进行核聚变反应时的核聚变反应强度，即 sgcd(a1,a1),sgcd(a1,a2),…,sgcd(a1,an)。

Input

第一行一个正整数 n。

第二行 n 个用空格隔开的正整数，第 i 个为 ai。

Output

一行 n 个用空格隔开的整数，第 i 个表示 sgcd(a1,ai)。

C/C++ 输入输出 long long 时请用 %lld。由于本题数据量较大，建议不要使用 cin/cout 进行输入输出。

Sample Input

4
12450 1 2 450

Sample Output

6225 -1 1 75

HINT

n≤105，ai≤1012

题意

题解：

算法一

对于 n=1 的数据，就是求一个数次大的约数。

众所周知一个数x的约数是成对出现的（d、xd），其中总有一个不超过x√。所以从1到a1−−√地枚举d就能找出所有a1的约数了。排序输出次大的即可。

复杂度：O(a√)
算法二

先找出a1的所有约数，然后枚举i，sgcd(a1,ai)显然也是a1的约数，所以枚举a1的所有约数，找到是ai约数的次大的即可。

复杂度：O(na√)
算法三

考虑分解质因子后：

a=px11px22...pxmm

b=py11py22...pymm

则：gcd(a,b)=pmin(x1,y1)1pmin(x2,y2)2...pmin(xm,ym)m

我们发现，a和b的公约数都一定是gcd(a,b)的约数。那么为了得到次大公约数，只需求出gcd(a,b)，再除去一个最小的公共质因子即可。

对a1用O(a1−−√)的时间分解得到O(log(a1))个质因数，每次对于ai，先求出g=gcd(a1,ai)，然后枚举a1的每个质因数，找到最小的能整除g那个，设其为p，g/p即为所求。（不存在则为输出−1）

复杂度：O(a√+nlog(a))
一个骗分算法

考虑算法二，我们预先对 a1 的约数们排好序，然后枚举 i，从约数表里每次二分到 gcd(a1,ai)所在位置，再往前枚举，找到第一个能整除ai的即为次大公约数。

虽然复杂度不靠谱，但是对于ai≤1012的范围实际运行速度十分优秀。需要构造针对的数据才能卡住。

还有另一个骗分算法，求出 gcd 然后暴力枚举最小质因子。好多人写这个啊……你们都没意识到复杂度不对么……放你们一马给了 80 分。

（有这种闲心的为啥不写正解啊，你们考虑过 maker 的感受吗！QAQ）

代码：

//qscqesze
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <map>
#include <stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
//freopen("D.in","r",stdin);
//freopen("D.out","w",stdout);
#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
#define maxn 200001
#define mod 10007
#define eps 1e-9
int Res,Num;char C,CH[];
//const int inf=0x7fffffff;   //无限大
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*

inline void P(int x)
{
    Num=0;if(!x){putchar('0');puts("");return;}
    while(x>0)CH[++Num]=x%10,x/=10;
    while(Num)putchar(CH[Num--]+48);
    puts("");
}
*/
//**************************************************************************************
inline ll read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void P(int x)
{
    Num=;if(!x){putchar('');puts("");return;}
    while(x>)CH[++Num]=x%,x/=;
    while(Num)putchar(CH[Num--]+);
    puts("");
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==?a:gcd(b,a%b);
}
ll a[maxn];
ll p[maxn];
int main()
{
    int n=read();
    for(int i=;i<n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    ll tot=;
    ll x=a[];
    for(ll i=;i<=sqrt(x);i++)
    {
        if(x%i==)
        {
            while(x%i==)x/=i;
            p[tot++]=i;
        }
    }
    for(int i=;i<n;i++)
    {
        ll d=gcd(a[],a[i]);
        int flag=;
        for(int j=;j<tot;j++)
        {
            if(d%p[j]==)
            {
                printf("%lld ",d/p[j]);
                flag=;
                break;
            }
        }
        if(flag)
        {
            if(d!=)
                printf("1 ");
            else
                printf("-1 ");
        }
    }

}