ZOJ 3609 Modular Inverse(拓展欧几里得求最小逆元）

Modular Inverse

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The modular modular multiplicative inverse of an integer a modulo m is an integer x such that a-1≡x (mod m). This is equivalent to ax≡1 (mod m).

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer T ≈ 2000 indicating the number of test cases.

Each test case contains two integers 0 < a ≤ 1000 and 0 < m ≤ 1000.

Output

For each test case, output the smallest positive x. If such x doesn't exist, output "Not Exist".

Sample Input

3
3 11
4 12
5 13

Sample Output

4
Not Exist
8

题解：
最小乘法逆元：由ax≡1 (mod m)得：转化为解线性方程ax+by=1
需要注意的地方：最小解取模时不能写成（x%t+t）%t 因为此题要的是正数解 这样写有时会输出0

首先我来回顾下欧几里德的几个定理，有助于理解这道题；

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使 d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

对于ax+by=1;  即ax=1（mod b）      当且仅当gcd（a,b）!=1 的时候，无解！

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <algorithm>  

 #define INF 0x7fffffff
 #define EPS 1e-12
 #define MOD 1000000007
 #define PI 3.141592653579798
 #define N 100000  

 using namespace std;  

 typedef long long LL;
 typedef double DB;  

 LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return a;
     }
     LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
     LL temp=x;
     x=y;
     y=temp-a/b*y;
     return ans;
 }  

 LL cal(LL a,LL b,LL c)
 {
     LL x,y;
     LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
     if(c%gcd!=) return -;
     x*=c/gcd;
     b/=gcd;
     if(b<) b=-b;
     LL ans=x%b;
     if(ans<=) ans+=b;
     return ans;
 }  

 int main()
 {
     LL a,b,t;
     scanf("%lld",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%lld%lld",&a,&b);
         LL ans=cal(a,b,);
         if(ans==-) printf("Not Exist\n");
         else printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }