BZOJ 1758 【WC2010】 重建计划

题目链接：重建计划

　　这道题现在已经成为一道板子题了……

　　这是个非常显然的0-1分数规划，可以二分答案之后树分治判定一下。注意树分治的时候如果使用单调队列，需要把所有儿子预先按最大深度排好序，否则会被扫把型的数据卡到\(n^2\log n\)。

　　然后跑得非常慢……于是把二分答案改成了Dinkelbach迭代法。Dinkelbach迭代法就是每次用当前最优解来更新答案的界，跑得比香港记者还快

　　听说这玩意儿复杂度上界是\(\log\)级别的？然而我并不会证……感觉这玩意儿就是玄学啊……

　　二分答案代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 100010
#define INF 2147483647
#define eps 1e-6

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,L,R,siz[maxn],dx[maxn],lc,dep[maxn];
int fr[maxn<<1],a[maxn],la,d[maxn],ld,s[maxn];
int head[maxn],next[maxn<<1],to[maxn<<1],tt;
double c[maxn<<1],lt,dis[maxn];
double c1[maxn],c2[maxn],ans;
bool vis[maxn];

int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),q=1;
	while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
	return q?-w:w;
}

bool cmp(int x,int y){return dep[to[x]]<dep[to[y]];}
void link(int x,int y,int z){
	to[++tt]=y;next[tt]=head[x];
	head[x]=tt; c[tt]=z;
}

void dfs(int u,int x){
	siz[u]=1; dx[u]=0; dep[u]=x;
	d[++ld]=u; vis[u]=1;
	for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
		if(!vis[v]){
			dfs(v,x+1); siz[u]+=siz[v];
			dx[u]=max(dx[u],siz[v]);
			dep[u]=max(dep[u],dep[v]);
		}
	vis[u]=0;
}

void getroot(int u,int fa){
	ld=0; dfs(u,0); int k=0,_k=INF;
	for(int l=1,i;i=d[l],l<=ld;l++){
		dx[i]=max(dx[i],siz[u]-siz[i]);
		if(dx[i]<_k) k=i,_k=dx[i];
	}
	vis[k]=1; fr[fa]=k;
	for(int i=head[k];i;i=next[i])
		if(!vis[to[i]]) getroot(to[i],i);
	ld=0; dfs(k,0); vis[k]=0; la=0;
	for(int i=head[k];i;i=next[i]) a[++la]=i;
	sort(a+1,a+la+1,cmp); next[a[la]]=0; head[k]=a[1];
	for(int i=1;i<la;i++) next[a[i]]=a[i+1];
}

void getdis(int u,int de){
	vis[u]=1; lc=max(lc,de); c2[de]=max(c2[de],dis[u]);
	for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
		if(!vis[v]) dis[v]=dis[u]+c[i],getdis(v,de+1);
	vis[u]=0;
}

void work(int u,int fa){
	int k=fr[fa]; vis[k]=1; int cl=0;
	for(int i=head[k],v,l,r,no;v=to[i],i;i=next[i]){
		if(vis[v]) continue; lc=0;
		dis[v]=c[i]; getdis(v,1); l=r=0; no=0;
		for(int j=lc;j;j--){
			while(no<=R-j && no<=cl){
				while(l<r && c1[s[r-1]]<=c1[no]) r--;
				s[r++]=no++;
			}
			while(l<r && s[l]<L-j) l++;
			if(l<r) ans=max(ans,c2[j]+c1[s[l]]);
			if(ans+eps>=0) break;
		}
		cl=max(cl,lc);
		for(int j=1;j<=lc;j++) c1[j]=max(c1[j],c2[j]),c2[j]=-1e9;
	}
	for(int i=1;i<=cl;i++) c1[i]=-1e9;
	if(ans+eps>=0){vis[k]=0;return;}
	for(int i=head[k];i;i=next[i])
		if(!vis[to[i]]) work(to[i],i);
	vis[k]=0;
}

bool check(double x){
	for(int i=1;i<=tt;i++) c[i]+=lt-x; lt=x;
	ans=-1e9; work(1,0); return ans+eps>=0;
}

int main(){
	File("a");
	n=getint(),L=getint(),R=getint();
	for(int i=2,u,v;i<=n;i++){
		u=getint(),v=getint();
		to[++tt]=v;next[tt]=head[u];head[u]=tt;
		to[++tt]=u;next[tt]=head[v];head[v]=tt;
		c[tt-1]=c[tt]=getint();
	}
	getroot(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) c1[i]=c2[i]=-1e9;
	double l=0,r=1000000,mid;
	while(r-l>=1e-4){
		mid=(l+r)*0.5;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.3lf",l);
	return 0;
}

　　Dinkelbach迭代法代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 100010
#define INF 2147483647

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,L,R,siz[maxn],dx[maxn],lc,dep[maxn];
int fr[maxn<<1],a[maxn],la,d[maxn],ld,s[maxn];
int head[maxn],next[maxn<<1],to[maxn<<1],tt;
double c[maxn<<1],lt,dis[maxn];
double c1[maxn],c2[maxn],ans;
bool vis[maxn];

int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),q=1;
	while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
	return q?-w:w;
}

bool cmp(int x,int y){return dep[to[x]]<dep[to[y]];}
void link(int x,int y,int z){
	to[++tt]=y;next[tt]=head[x];
	head[x]=tt; c[tt]=z;
}

void dfs(int u,int x){
	siz[u]=1; dx[u]=0; dep[u]=x;
	d[++ld]=u; vis[u]=1;
	for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
		if(!vis[v]){
			dfs(v,x+1); siz[u]+=siz[v];
			dx[u]=max(dx[u],siz[v]);
			dep[u]=max(dep[u],dep[v]);
		}
	vis[u]=0;
}

void getroot(int u,int fa){
	ld=0; dfs(u,0); int k=0,_k=INF;
	for(int l=1,i;i=d[l],l<=ld;l++){
		dx[i]=max(dx[i],siz[u]-siz[i]);
		if(dx[i]<_k) k=i,_k=dx[i];
	}
	vis[k]=1; fr[fa]=k;
	for(int i=head[k];i;i=next[i])
		if(!vis[to[i]]) getroot(to[i],i);
	ld=0; dfs(k,0); vis[k]=0; la=0;
	for(int i=head[k];i;i=next[i]) a[++la]=i;
	sort(a+1,a+la+1,cmp); next[a[la]]=0; head[k]=a[1];
	for(int i=1;i<la;i++) next[a[i]]=a[i+1];
}

void getdis(int u,int de){
	vis[u]=1; lc=max(lc,de); c2[de]=max(c2[de],dis[u]);
	for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
		if(!vis[v]) dis[v]=dis[u]+c[i],getdis(v,de+1);
	vis[u]=0;
}

void work(int u,int fa){
	int k=fr[fa]; vis[k]=1; int cl=0; double x;
	for(int i=head[k],v,l,r,no;v=to[i],i;i=next[i]){
		if(vis[v]) continue; lc=0;
		dis[v]=c[i]; getdis(v,1); l=r=0; no=0;
		for(int j=lc;j;j--){
			while(no<=R-j && no<=cl){
				while(l<r && c1[s[r-1]]<=c1[no]) r--;
				s[r++]=no++;
			}
			while(l<r && s[l]<L-j) l++;
			if(l<r){
				x=(c2[j]+c1[s[l]])/(j+s[l]);
				if(x>ans) ans=x;
			}
		}
		cl=max(cl,lc);
		for(int j=1;j<=lc;j++) c1[j]=max(c1[j],c2[j]),c2[j]=-1e9;
	}
	for(int i=1;i<=cl;i++) c1[i]=-1e9;
	for(int i=head[k];i;i=next[i])
		if(!vis[to[i]]) work(to[i],i);
	vis[k]=0;
}

void check(double x){
	for(int i=1;i<=tt;i++) c[i]+=lt-x; lt=x;
	ans=-1e9; work(1,0);
}

int main(){
	File("a");
	n=getint(),L=getint(),R=getint();
	for(int i=2,u,v;i<=n;i++){
		u=getint(),v=getint();
		to[++tt]=v;next[tt]=head[u];head[u]=tt;
		to[++tt]=u;next[tt]=head[v];head[v]=tt;
		c[tt-1]=c[tt]=getint();
	}
	getroot(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) c1[i]=c2[i]=-1e9;
	double now=0; check(0);
	while(ans>1e-4) now+=ans,check(now);
	printf("%.3lf",now);
	return 0;
}

　　实测BZOJ上前一份代码24s+，后一份代码只要5s+