前言

Splay是名副其实的区间小能手。它会经常出现在一些有关区间的题上。而本蒟蒻只会Treap,感到分外难受,于是就有了这个教程。

引入

Splay首先是一颗二叉查找树。也就是说,对于任何一颗子树,左子树内所有的值均小于根,右子树内所有的值均大于根。也就是下图这样,数字代表值。

这样的话,中序遍历的结果就是从小到大的。

但是这棵树可能会退化成这样:

会使操作奇慢无比。所以我们考虑优化。

教程

Rotate

Rotate操作能在不破坏二叉查找树的性质的情况下更改树的结构:

感受一下,如果我们用\(Child[0]\)表示左孩子,\(Child[1]\)表示右孩子,那么Rotate就可以这样写:

void Rotate( int C ) {
int B = Father[ C ];
int A = Father[ B ];
int Tag = Child[ B ][ 1 ] == C;
Child[ A ][ Child[ A ][ 1 ] == B ] = C;
Father[ C ] = A;
Child[ B ][ Tag ] = Child[ C ][ Tag ^ 1 ];
Father[ Child[ C ][ Tag ^ 1 ] ] = B;
Child[ C ][ Tag ^ 1 ] = B;
Father[ B ] = C;
return;
}

Splay

Splay操作是核心。Splay( x, y )表示把\(x\)旋转到\(y\)的儿子,Splay( x, 0 )就是把\(x\)旋转到根。或许不难想到这样的操作:

while( Father[ x ] != y ) Rotate( x );

但是这样有一个问题:

对于下图

如果我们Splay( C, 0 ),按照上面的做法,就会变成这样:

我们发现链\(A-B-C-y\)依旧存在,只是变成了\(C-A-B-y\)。这样的话时间复杂度就无法保证了。

这种情况只有在C是B的左孩子,B是A的左孩子,或者C是B的右孩子,B是A的右孩子的情况下才会发生。这时,我们考虑先Rotate(B),然后Rotate(C)。大家可以画图感受一下。

所以Splay可以这样写:

void Splay( int Index, int Goal ) {
while( Father[ Index ] != Goal ) {
int B = Father[ Index ];
int A = Father[ B ];
if( A != Goal )
if( ( Child[ A ][ 0 ] == B ) ^ ( Child[ B ][ 0 ] == Index ) )
Rotate( Index );
else
Rotate( B );
Rotate( Index );
}
return;
}

这样就好了啊!

一些其他操作:

插入、删除、查询数x的排名、查询排名第x的数、查询前驱、查询后缀等都与Treap相似,只要最后把目标线Splay到根就行,这里不再赘述。

区间翻转

下面通过文艺平衡树一题来讲述如何翻转区间。

这一题中,关键字是位置。

假设我们要翻转\([l,r]\)。我们首先将\(l-1\)旋转到根,再将\(r+1\)转到根的儿子,这样根的右孩子的左孩子就是\([l,r]\)了。我们打上标记就可以了。

结语

先简略地介绍这么一点,剩下的大家可以慢慢体会。

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