部分内容摘自 勿在浮沙筑高台

http://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/51908175

关于图的几个概念定义:

  • 连通图:在无向图中,若任意两个顶点vi与vj都有路径相通,则称该无向图为连通图。
  • 强连通图:在有向图中,若任意两个顶点vi与vj都有路径相通,则称该有向图为强连通图。
  • 连通网:在连通图中,若图的边具有一定的意义,每一条边都对应着一个数,称为权;权代表着连接连个顶点的代价,称这种连通图叫做连通网。
  • 生成树:一个连通图的生成树是指一个连通子图,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边,如果生成树中再添加一条边,则必定成环。
  • 最小生成树:在连通网的所有生成树中,所有边的代价和最小的生成树,称为最小生成树。

下面介绍两种求最小生成树算法

1.Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”,初始最小生成树边数为0,每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边,加入到最小生成树的边集合里。

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序;

2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林;

3. 按权值从小到大选择边,所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树,则成为最小生成树的一条边,并将这两颗树合并作为一颗树。

4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

2.Prim算法

此算法可以称为“加点法”,每次迭代选择代价最小的边对应的点,加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始,逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

图的所有顶点集合为VV;初始令集合 u=s,v=V−uu=s,v=V−u" role="presentation">u=s,v=V−uu=s,v=V−uu=s,v=V−uu=s,v=V−u;

在两个集合u,vu,v能够组成的边中,选择一条代价最小的边(u0,v0),加入到最小生成树中,并把v0并入到集合u中。

重复上述步骤,直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

由于不断向集合u中加点,所以最小代价边必须同步更新;需要建立一个辅助数组closedge,用来维护集合v中每个顶点与集合u中最小代价边信息,:

struct
{
char vertexData //表示u中顶点信息
UINT lowestcost //最小代价
}closedge[vexCounts]

3.最小生成树Kruskal算法+并查集实现

Veegin博客

HDU 1863 畅通工程(Kruskal+并查集)

4.最小生成树 Prim算法

POJ 1258 Agri-Net(Prim求最小生成树)

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