poj2104 k-th number 主席树入门讲解

poj2104 k-th number 主席树入门讲解

定义：主席树是一种可持久化的线段树 又叫函数式线段树

 

刚开始学是不是觉得很蒙逼啊 其实我也是

主席树说简单了 就是

保留你每一步操作完成之后的线段树 然后有可加减性

也就是说你每添加的一个点的那棵树都给你保留下来了

呃 。。。 这么说好像还是有点生涩

那么就拿poj2104来举例子吧 慢慢讲我觉得会很好的

题意就是给你一个100000长度的数字 然后100000次询问［L，R］之间第k大的数字是多少

这个很容易看出来 暴力根本不可以 黑你分分钟的事情啊

我们怎么办呢 想想线段树能不能做 想来想去 一颗线段树好像不能这么做 GG

那么我们做一个美好的假设：

我们建立100000棵美丽的线段树 每一个线段树的节点 表示这一个区间内有多少个数字

第一棵线段树保存着把第一个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字

第二棵线段树保存着把第一个 第二个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字

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。

第n棵线段树保存着把第1，2，3。。。。n个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字

好了 我们已经建立了这么多的线段树 我们接下来该怎么办呢？

对 就是查询

可是如何查询呢？ 假设我们要查询［l，r］内的第k大

我们可以拿出第l－1 ，r 棵线段树，然后两者相减（两棵树的更节点相减） 我们想一下 这样不就得到了相当于插入了第l到r个点所建立的一棵线段树 这棵线段树每个节点保留的信息是：这个区间内数字的个数 然后我们往下二分查找 就可以得到第k大了

比如说r对应的那棵树1-15里面有10个，l-1对应的那棵树1-15有6，那么r-（l-1）的1-15有10-6=4个，如果我现在k=8，那么说明1-15满足不了我，比如我需要到6-20中去找，r那棵树。

所谓主席树呢，就是对原来的数列[1..n]的每一个前缀[1..i]（1≤i≤n）建立一棵线段树，线段树的每一个节点存某个前缀[1..i]中属于区间[L..R]的数一共有多少个（比如根节点是[1..n]，一共i个数，sum[root] = i；根节点的左儿子是[1..(L+R)/2]，若不大于(L+R)/2的数有x个，那么sum[root.left] = x）。若要查找[i..j]中第k大数时，设某结点x，那么x.sum[j] - x.sum[i - 1]就是[i..j]中在结点x内的数字总数。而对每一个前缀都建一棵树，会MLE，观察到每个[1..i]和[1..i-1]只有一条路是不一样的，那么其他的结点只要用回前一棵树的结点即可，时空复杂度为O(nlogn)。

现在的问题时 这么庞大的空间开销我们耗费不起 我们该如何建立这样的线段树呢？

答案就是 我们要尽量利用重复节点

我们可以想一下 我们每次建立线段树 相对于前一棵线段树 我们只修改了它的一条路径 最多只有logn的变化 那么我们就存下这logn的变化 尽可能的利用重复节点 就可以达到重复使用的目的 有张图你们自己体会一下 我也是盗图 侵删～

每次只修改一条路径

这样就能完成我们的主席树了

接下来是我自己写的该题代码

1. #include <iostream>
2. #include <algorithm>
3. #include <stdio.h>
4. #include <string.h>
5. #include <stdlib.h>
6. using namespace std;
7. #define maxn (int)(1e6+10)
8. struct node{
9. int cnt,l,r;
10. }treenode[30*maxn];//定义一个结构体吧 要不心累 l 和 r 表示 左右两个节点的序号 这个不是单纯的单个线段树了 这个还是有必要的 最好开20-40倍
11. int tree_cnt[maxn];//每个线段树跟节点的坐标 这个是搜索的起点啊
12. int init[maxn];//
13. int cop[maxn];
14. int n,t_cnt=0,newn;//t_cnt是现在数组开到多大了 然后建立下一个的时候注意++t_cnt;
15. int getid(int x) {return (int)(lower_bound(init,init+newn,x)-init);}//数据太大 需要离散化
16. int insert(int num,int becopyed,int l,int r)//记住返回自己的坐标
17. {
18. ++t_cnt;
19. treenode[t_cnt].cnt=treenode[becopyed].cnt+1;
20. int save=t_cnt;
21. int mid=(l+r)/2;
22. if(l==r)
23. {
24. return save;
25. }
26. else if(num<=mid)
27. {
28. treenode[save].l=insert(num,treenode[becopyed].l,l,mid);
29. treenode[save].r=treenode[becopyed].r;
30. }
31. else
32. {
33. treenode[save].r=insert(num,treenode[becopyed].r,mid+1,r);
34. treenode[save].l=treenode[becopyed].l;
35. }
36. return save;
37. }
38. int query(int x,int y,int k,int l,int r)
39. {
40. if(l==r) return l;
41. int p=(treenode[treenode[y].l].cnt-treenode[treenode[x].l].cnt);
42. int mid=(l+r)/2;
43. if(k<=p)
44. {
45. return query(treenode[x].l,treenode[y].l,k,l,mid);
46. }
47. else return query(treenode[x].r,treenode[y].r,k-p,mid+1,r);
48. }//一边做减法 一边查询
49. void print(int x,int l,int r)
50. {
51. cout<<treenode[x].cnt<<' ';
52. if(l==r) {return;}
53. int mid=(l+r)>>1;
54. print(treenode[x].l,l,mid);
55. print(treenode[x].r,mid+1,r);
56. }
57. int main()
58. {
59. int n,qnum;
60. cin>>n>>qnum;
61. for(int i=0;i<n;++i) {scanf("%d",init+i);cop[i]=init[i];}
62. sort(init,init+n);
63. newn=unique(init,init+n)-init;
64. for(int i=1;i<=n;++i)
65. {
66. int p=insert(getid(cop[i-1]),tree_cnt[i-1],0,n);
67. tree_cnt[i]=p;
68. //cout<<p<<endl;
69. }
70. for(int i=0;i<qnum;++i)
71. {
72. int x,y,k;
73. scanf("%d %d %d",&x,&y,&k);
74. //cin>>x>>y>>k;
75. int ans=query(tree_cnt[x-1],tree_cnt[y],k,0,n);
76. //cout<<ans<<endl;
77. printf("%d\n",init[ans]);
78. //cout<<init[ans]<<endl;
79. }
80. //cout<<endl;
81. //for(int i=0;i<=n;++i) print(tree_cnt[i],0,n),cout<<endl;
82. return 0;
83. }