[xsy3241]暴风士兵

题意：一个血量为$h$的人，它会被攻击$n$次，第$i$次有$p$的概率$-1$滴血（每次的$p$不同），问每次攻击后他的血量期望，强制在线

若一个人被扣了$i$滴血的概率为$p_i$，那么记多项式$P(x)=\sum\limits_ip_ix^i$，一次概率为$p$的攻击相当于将它乘上$px+1-p$，询问就相当于求$\sum\limits_ip_ic_i$，其中$c_i=[i\lt h](h-i)$

我们要对每个$px+1-p$的前缀积$A(x)$求$\sum\limits_ic_i[x^i]A(x)$，但肯定不能直接求

考虑对于$i$的答案，如果我们只求$k\cdots i$的积，前面忽略掉的$1\cdots k-1$会对答案造成什么影响

设$A(x)$为$1\cdots k-1$的积，$B(x)$为$k\cdots i$的积，我们想要求$c'$使得$\sum\limits_ic_i[x^i]A(x)B(x)=\sum\limits_ic_i'[x^i]B(x)$，推一下可得$c_i'=\sum\limits_{j\geq i}c_ja_{j-i}$

到这里就好办了，我们可以分治算答案，算到$[l,r]$时先递归算$[l,mid]$，做卷积算对应于$[mid+1,r]$的$c'$，然后再递归算$[mid+1,r]$

然后你发现这个强制在线好像没有用，因为我们使用$p$是按顺序来的...时间复杂度$O(n\log^2n)$，空间复杂度$O(n\log n)$

#include<stdio.h&>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int mul(int a,int b){return(ll)a*b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int rev[262144],N,iN;
void pre(int n){
	int i,k=0;
	for(N=1,k=0;N<=n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	iN=pow(N,mod-2);
}
void ntt(int*a,int on){
	int i,j,k,t,w,wn;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		wn=pow(3,on==1?(mod-1)/i:mod-1-(mod-1)/i);
		for(j=0;j<N;j+=i){
			w=1;
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				t=mul(a[i/2+j+k],w);
				a[i/2+j+k]=de(a[j+k],t);
				a[j+k]=ad(a[j+k],t);
				w=mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],iN);
	}
}
int ta[262144],tb[262144];
int c[100010],ans;
int*solve(int l,int r){
	int*res=new int[r-l+2],*tl,*tr,*tc,mid,ln,rn,i;
	if(l==r){
		int p;
		scanf("%d",&p);
		p+=ans;
		res[0]=1-p;
		res[1]=p;
		ans=(((ll)p*c[1]+(ll)(1-p)*c[0])%mod+mod)%mod;
		printf("%d\n",ans);
		return res;
	}
	mid=(l+r)>>1;
	ln=mid-l+1;
	rn=r-mid;
	tc=new int[r-l+2];
	memcpy(tc,c,(r-l+2)<<2);
	tl=solve(l,mid);
	pre((r-l+1)<<1);
	memset(ta,0,N<<2);
	memset(tb,0,N<<2);
	for(i=0;i<=r-l+1;i++){
		ta[r-l+1-i]=c[i];
		tb[i]=(i<=ln?tl[i]:0);
	}
	ntt(ta,1);
	ntt(tb,1);
	for(i=0;i<N;i++)ta[i]=mul(ta[i],tb[i]);
	ntt(ta,-1);
	for(i=0;i<=rn;i++)c[i]=ta[r-l+1-i];
	tr=solve(mid+1,r);
	pre(r-l+1);
	memset(ta,0,N<<2);
	memcpy(ta,tl,(ln+1)<<2);
	memset(tb,0,N<<2);
	memcpy(tb,tr,(rn+1)<<2);
	ntt(ta,1);
	ntt(tb,1);
	for(i=0;i<N;i++)ta[i]=mul(ta[i],tb[i]);
	ntt(ta,-1);
	memcpy(res,ta,(r-l+2)<<2);
	memcpy(c,tc,(r-l+2)<<2);
	return res;
}
int main(){
	int n,i;
	scanf("%d%d",&ans,&n);
	for(i=0;i<=ans;i++)c[i]=ans-i;
	solve(1,n);
}