FHQ treap(再见splay------)

但凡打过平衡树的应该都知道\(\huge{二逼平衡树}\)这道题，抄了两个小时的splay版题解，然后发现了\(\huge\color{maroon}FHQ treap\)：

$\large\color{green}这是splay$

struct jjtree
{
	inline void up(rint x){sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+cnt[x];}
	inline bool so(rint x){return x==son[fa[x]][1];}
	inline void clear(rint x){fa[x]=son[x][0]=son[x][1]=cnt[x]=v[x]=sz[x]=0;}
	inline void xuan(rint x){
		rint y=fa[x],z=fa[y];bool op=so(x);
		son[y][op]=son[x][op^1];if(son[y][op])fa[son[y][op]]=y;
		son[x][op^1]=y,fa[y]=x;if(z)son[z][y==son[z][1]]=x;fa[x]=z;
		up(x),up(y);
	}
	inline void splay(rint x,rint y=0){
		if(!y)rt=x;
		while(fa[x]!=y){
			rint k1=fa[x];
			if(fa[k1]!=y)xuan(so(x)==so(k1)?k1:x);
			xuan(x);
		}
	}
	inline void insert(int x){
		if(!rt){
			v[++tot]=x;
			++cnt[tot];rt=tot;up(rt);return;
		}
		int now=rt,f=0;
		while(1){
			// cout<<now<<endl;
			if(v[now]==x){
				++cnt[now];up(now);up(f);splay(now);return;
			}
			f=now,now=son[now][x>v[now]];
			if(!now){
				v[++tot]=x,++cnt[tot],fa[tot]=f;
				son[f][x>v[f]]=tot;up(tot),up(f),splay(tot);
				return;
			}
		}
	}
	inline int rk(int x){
		int ans=0,now=rt;
		while(1){
			if(x<v[now])now=son[now][0];
			else{
				ans+=sz[son[now][0]];
				if(!now)return ans+1;
				if(x==v[now])return splay(now),ans+1;
				ans+=cnt[now],now=son[now][1];
			}
		}
	}
	inline int kth(int k){
		int now=rt;
		while(1){
			if(son[now][0]&&k<=sz[son[now][0]])now=son[now][0];
			else{
				k-=sz[son[now][0]]+cnt[now];
				if(k<=0)return splay(now),v[now];
				now=son[now][1];
			}
		}
	}
	inline int pre(){
		int now=son[rt][0];
		if(!now)return 0;
		while(son[now][1])now=son[now][1];
		splay(now);
		return now;
	}
	inline int nxt(){
		int now=son[rt][1];
		if(!now)return 0;
		while(son[now][0])now=son[now][0];
		splay(now);
		return now;
	}
	inline void del(int k){
		rk(k);
		// if(v[rt]!=k)return;
		if(cnt[rt]>1)return --cnt[rt],up(rt),(void)(0);
		if(!son[rt][0]&&!son[rt][1])return clear(rt),rt=0,(void)0;
		if(!son[rt][0]){
			int now=rt;rt=son[rt][1];fa[rt]=0;clear(now);return;
		}
		if(!son[rt][1]){
			int now=rt;rt=son[rt][0];fa[rt]=0;clear(now);return;
		}
		int now=rt,x=pre();
		fa[son[now][1]]=x;son[x][1]=son[now][1];
		clear(now);up(rt);
	}
}tr;

$\large{总长91行}$

$\large\color{green}这是FHQ treap$

struct jj{
	int son[N][2],sz[N],v[N],id[N],tot,rt;
	inline void up(int x){sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+1;}
	inline int ne(int x){return sz[++tot]=1,v[tot]=x,id[tot]=rand(),tot;}
	inline int he(int x,int y){
		if(!x||!y)return x^y;
		if(id[x]<id[y]){return son[x][1]=he(son[x][1],y),up(x),x;}
		return son[y][0]=he(x,son[y][0]),up(y),y;
	}
	inline void fen(int now,int k,int &x,int &y){
		if(!now)x=y=0;
		else{
			if(k>=v[now])x=now,fen(son[now][1],k,son[now][1],y);
			else y=now,fen(son[now][0],k,x,son[now][0]);
			up(now);
		}
	}
	inline int kth(int now,int k){
		while(1){
			if(k<=sz[son[now][0]])now=son[now][0];
			else if(k==sz[son[now][0]]+1)return now;
			else k-=sz[son[now][0]]+1,now=son[now][1];
		}
	}
	inline void ins(int k){
		int x,y;
		fen(rt,k,x,y),rt=he(he(x,ne(k)),y);
	}
	inline void del(int k){
		int x,y,z;
		fen(rt,k,x,y),fen(x,k-1,x,z);
		z=he(son[z][0],son[z][1]),rt=he(he(x,z),y);
	}
	inline int rk(int k){
		int x,y,ans;
		fen(rt,k-1,x,y);ans=sz[x]+1;
		return rt=he(x,y),ans;
	}
	inline int pre(int k){
		int x,y,ans;
		fen(rt,k-1,x,y);ans=v[kth(x,sz[x])];
		return rt=he(x,y),ans;
	}
	inline int nxt(int k){
		int x,y,ans;
		fen(rt,k,x,y);ans=v[kth(y,1)];
		return rt=he(x,y),ans;
	}
}tr[2];

$\large{总长48行}$

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终于知道什么是$$\huge\color{seagreen}{相见恨晚}$$

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闲言少叙，开始摞码

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\(\huge\color{purple}{FHQ treap}\)

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\(\large \color{salmon}{即无旋treap,同时维护着堆和二叉树的性质，支持splay、treap可支持的一切操作，而且更方便}\)

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\(\large\color{maroon}维护信息其他平衡树基本相同\)

struct jj{
    int son[N][2],sz[N],tot,rt,id[N],v[N];
	//son[i][0]->ls(i),son[i][1]-> rs(i)
	//sz[i]->  以i为根节点的树的大小
	//id[i]->  rand()出来的，用来维护堆的性质
	//v[i] i点存的权值
	//tot-> 所有存在过的点的个数，主要用来新建一个点
	//rt -> 这棵树的根
	inline void up(int x){sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+1;}//update
	inline int ne(int x){return sz[++tot]=1,v[tot]=x,id[tot]=rand(),tot;}//新建一个点
}tr[2];

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\(\large \color{maroon}{FHQ只需要两个操作：合并与分裂}\)

\(\large{合并}:\)

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\(\large\color{salmon} 合并，即将两颗合法的treap（x和y，而且要保证x中的任何一个元素都小于等于y中的任意元素）合并成为一棵树。\)

\(\large\color{salmon} 根据随机给的id，为了保持堆的性质，让id小的在上面（喜欢让id大的在上面也行 ， 只要全局保持同意即可）\)

inline int he(int x,int y){
        if(!x||!y)return x^y;
        if(id[x]<id[y])return son[x][1]=he(son[x][1],y),up(x),x;
        return son[y][0]=he(x,son[y][0]),up(y),y;
}

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\(\large{分裂:}\)

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\(\large\color{salmon}{把一棵树分成小于等于k（x）,和大于k（y）的两部分）}\)

inline void fen(int now,int k,int &x,int &y){
        if(!now)x=y=0;//叶子节点，不要忘记清空
        else{
            if(k>=v[now])x=now,fen(son[now][1],k,son[now][1],y);//now及其左子树都可以归到x中，然后继续向下fen
            else y=now,fen(son[now][0],k,x,son[now][0]);//now及其右字数都可以归到y中，继续fen
            up(now);//别忘up
        }
    }

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\[\]

\(\large\color{maroon}{会了合并与分裂就可以进行各种操作了}\)

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\(\large \cal{insert}:\)

\(\large\color{salmon}以k为界定值，将树分为两部分x和y，并在x，y中间插入一个权值为k的节点，将他们合并起来\)

inline void ins(int k){
    int x,y;
    fen(rt,k,x,y),rt=he(he(x,ne(k)),y);
}

\[\]

\(\large \cal{delete}:\)

\(\large\color{salmon}以k为界定值分为x，y，再以k-1为界定值将x分为x，z，那么z中所有节点都是权值为k，删除z根节点，再将他们合并起来即可\)

inline void del(int k){
    int x,y,z;
    fen(rt,k,x,y),fen(x,k-1,x,z);
    z=he(son[z][0],son[z][1]),rt=he(he(x,z),y);
}

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\(\large \cal{kth}:\)

\(\large\color{salmon}在以now为根的树中，排名为k的节点\)

inline int kth(int now,int k){
    while(1){
        if(k<=sz[son[now][0]])now=son[now][0];
        else if(k==sz[son[now][0]]+1)return now;
        else k-=sz[son[now][0]]+1,now=son[now][1];
    }
}

\[\]

\(\large \cal{rank}:\)

inline int rk(int k){
    int x,y,ans;
    fen(rt,k-1,x,y);ans=sz[x]+1;
    return rt=he(x,y),ans;
}

\[\]

\(\large \cal{pre\ and \ next}:\)

inline int pre(int k){
    int x,y,ans;
    fen(rt,k-1,x,y);ans=v[kth(x,sz[x])];
    return rt=he(x,y),ans;
}
inline int nxt(int k){
	int x,y,ans;
	fen(rt,k,x,y);ans=v[kth(y,1)];
	return rt=he(x,y),ans;
}

\[\huge\color{purple}{FHQ \ treap \ 好用 \ 爱用 \ 天天用 }
\]