[OI] 数学与推论证明 3（高中数学篇）

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\[\color{#40865d}(2)
\]

\(f(x)=x^{2}-a(x+a\ln x)(a\neq0)\)，若 \(f(1)+f'(1)=0\) 且 \(a\gt 0\)，问可以得到什么最值相关的不等式结论

\[\texttt{Sol.}
\]

\[f(x)=x^{2}-ax-a^{2}\ln x
\]

\[f'(x)=2x-a-\frac{a^{2}}{x}
\]

\[2-a-a^{2}+1-a=0
\]

解得 \(a_{1}=1,a_{2}=-3(舍)\)

代入原式得 \(f(x)=x^{2}-x-\ln x\)，定义域为 \((0,+\infty)\)，\(f'(x)=2x-1-x^{-1}\)

令 \(f'(x)=0\)，解得 \(x_{1}=1,x_{2}=-2^{-1}(舍)\)，当 \(x\lt 1\) 时，代入解得 \(f'(x)\lt 0\)，当 \(x\gt 1\) 时，代入解得 \(f'(x)\gt 0\)，综上，\(\min(f(x))=f(1)=0\)，即 \(f(x)\gt 0\)

稍微移项可得 \(x^{2}-x\gt \ln x\)

\[\color{#40865d}(3)
\]

根据上述结论证明 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{i+1}{i^{2}}\gt \ln(n+1)\)

\[\texttt{Sol.}
\]

注意到

\[\sum^{n}_{i=1}\ln \frac{i+1}{i}=\ln (\prod^{n}_{i=1}\frac{i+1}{i})
\]

发现里面的项可以消掉，如下：

\[\frac{1+1}{1}\times\frac{2+1}{2}\cdots\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{1}=n+1
\]

也即

\[\sum^{n}_{i=1}\ln \frac{i+1}{i}=\ln(n+1)
\]

因此，假如我们能证明 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{i+1}{i^{2}}\gt\sum\limits^{n}_{i=1}\ln \frac{i+1}{i}\)，就能证明原式.

考虑去掉求和，证明 \(\forall i\in[1,n]\rightarrow \frac{i+1}{i^{2}}\gt\ln \frac{i+1}{i}\)

根据 \((2)\) 中的结论 \(x^{2}-x\gt \ln x\)，构造一组 \(x=\frac{i+1}{i}\)，得到：

\[(\frac{i+1}{i})^{2}-\frac{i+1}{i}\gt\ln \frac{i+1}{i}
\]

\[\frac{i^{2}+2i+1-i^{2}-i}{i^{2}}\gt \ln \frac{i+1}{i}
\]

\[\frac{i+1}{i^{2}}\gt \ln \frac{i+1}{i}
\]

证毕.

\[\color{#40865d}(EX)
\]

同理我们还可以证明 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{1}{i}\gt \ln n\)

考虑按上述方法转化问题：

\[\frac{1}{n}+\sum\limits^{n-1}_{i=1}\frac{1}{i}\gt\sum\limits^{n-1}_{i=1}\ln \frac{i+1}{i}
\]

因为 \(\frac{1}{n}\gt 0\)，因此只需证 \(\forall i\in[1,n]\rightarrow \frac{1}{i}\gt\ln \frac{i+1}{i}\)

换元，令 \(A=\frac{1}{i}\)，可得原式等于 \(\forall i\in[1,n]\rightarrow A-\ln(A+1)\gt0\)

对原式求导，可知原式在 \(A\in(0,\infty)\) 内单调递增，且当 \(A=0\) 时，原式等于 \(0\)，可以得出原式在定义域内恒正.

带回可得 \(\forall i\in[1,n]\rightarrow A\gt\ln(A+1)\)，证毕.

\[\color{#40865d}(EX2)
\]

其实可以直接通过 \(\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{1}{i}\lt \sum\limits^{n}_{i=1}\frac{i+1}{i^{2}}\) 来证第三问.

2

从 Joke 学长的奇怪博客看到的

证明 \(e\lt 3\)

\[\texttt{Sol.}
\]

可以构造一组积分使得其值为 \(3-e\)，要证 \(3-e\gt 0\)，只需证该积分对应的原函数区间始终在 \(x\) 轴上方. 即构造出的积分 \(\int^{b}_{a}f(x)dx\) 应满足如下条件：

• \(\forall x\in[a,b],\ f(x)\gt 0\)
• \(\int^{b}_{a}f(x)dx=3-e\)
• \(a,b\) 不能包含 \(e\) （这一点是因为不确定 \(e\) 与其他数的大小关系，无法确定区间）

joke 学长构造出一组 \(f(x)=x(1−x)e^x\)，\(f'(x)=(x-x^{2})e^{x}+e^{x}(1-2x)=e^{x}(-x^{2}+3x-3)\)（怎么我导出来和他不一样，严重怀疑解不定积分解错了），然后取 \([0,1]\)，得到 \(f'(0)=-3,f'(1)=-e\)，原积分的值为 \(3-e\)，显然这是对的

或者我的做法是尝试构造 \(f(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}-3x\)，这可以使得 \(f'(x)=-x^{2}+3x-3\)，取区间 \([0,1]\) 得到 \(f'(0)=-3,f'(1)=-e\)，原积分的值为 \(3-e\) 得证.

UPD: 我紫菜我把求导弄反了我对积分的原函数求不定积分去了我紫菜

应 joke 学长的要求把 joke 的 j 改成小写的了

那确实是对的，应该是用原函数 \(f(x)=-x^{2}+3x-3\) 导回去得到不定积分 \(x(1−x)e^x\)，选择区间 \([0,1]\) 得证.