7、斐波那契数列、跳台阶、变态跳台阶、矩形覆盖------------>剑指offer系列

题目：斐波那契数列

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

基本思路

这道题在剑指offer中实际是当作递归的反例来说的。

递归的本质是吧一个问题分解成两个或者多个小问题，如果多个小问题存在互相重叠的情况，那么就存在重复计算。

f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这种拆分使用递归是典型的存在重叠的情况，所以会造成非常多的重复计算。

另外，每一次函数调用爱内存中都需要分配空间，每个进程的栈的容量是有限的，递归层次过多，就会造成栈溢出。

递归是从最大数开始，不断拆解成小的数计算，如果不去考虑递归，我们只需要从小数开始算起，从底层不断往上累加就可以了，其实思路也很简单。

代码

function Fibonacci(n)
{
    if(n<=1){
        return n;
    }
    let i = 1;
    let pre = 0;
    let current = 1;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

题目：跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

基本思路

找规律：

跳三级台阶等于跳两级台阶的跳法+跳一级台阶的跳法。

跳四级台阶等于跳三级台阶的跳法+跳二级台阶的跳法。

明显也符合斐波那契数列的规律

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

代码

function jumpFloor(n)
{
    if(n<=2){
        return n;
    }
    let i = 2;
    let pre = 1;
    let current = 2;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

题目：变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

基本思路

每个台阶都可以选择跳或者不跳，最后一个台阶必跳。

每个台阶有两种选择，n个台阶有2的n次方种选择。

所以一共有2的n-1次跳法。

使用位运算

代码

function jumpFloorII(number)
{
    return 1<<(--number);//Math.power(2,number-1)
}

题目：矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

 

基本思路

假设为2*8，f(8)用第一个小矩形去覆盖左边有两种，竖着的之后,右边有f(7)中选择，当横着的时候，有f(6)中选择，所以f(8)=f(7)+f(6),也是斐波那契数列，n=1时只有一种，n=2时有两种,f(n)=f(n-1)+f(n-2)

代码

function rectCover(number)
{
    // write code here
    if(number<0)
        return ;
     if(number<=2)
         return number;
    let [one,two]=[1,2];
    let temp;
    for(var i=3;i<=number;i++)
    {
        temp=one;
        one=two;
        two=temp+two;
    }
    return two;
}