动态规划：最长上升子序列（二分算法 nlogn）

解题心得：

1、在数据量比较大的时候n^2会明显超时，所以可以使用nlogn 的算法，此算法少了双重循环，用的lower_bound（二分法）。

2、lis中的数字并没有意义，仅仅是找到最小点lis[0]和最大点lis[len]，其中，在大于lis[len]时len++，在小于lis[len]时可以将arr[i]在lis中的数进行替换掉。所以此算法主要是在不停的找最合适的起点和最合适的终点。

引用：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！！

题目：

Description

设有一个序列（a1,a2,..an）,如果序列(ai1, ai2, …, aik), 满足1< = i1 < i2< …< ik< =n且ai1 < ai2< .. .< aik,则称(ai1, ai2, …, ak)为(a1,a2,……an)的一上升子序列。例如序列1,6,2,5,4,7的一个最长上升子序列是1,2,5,7（还有其他的，这里略去），长度是4.给一个序列，求它的最长上升子序列的长度。

Input

题目有多组测试数据，每组第一行为一个整数n,代表序列的长度，第二行为序列的n个数。（1<=n<=100000）。//数据量比较大经典算法不合适。

Output

每组输出占一行，包含序列的最长上升子序列的长度。

Sample Input

7

1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

#include<stdio.h>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

int main()

{

    int n,num[100100],lis[100100],len;

    while(scanf("%d",&n)!=EOF)

    {

        len = 0;

        memset(lis,0,sizeof(lis));

        for(int i=0;i<n;i++)//如果i是从1开始，在lower_bound中的到的位置会返回到0，这样就不可以把lis[1]的位置替换掉，从而WA。

        {

            scanf("%d",&num[i]);

        }

        lis[0] = num[0];

        for(int i=1;i<n;i++)

        {

            if(num[i] > lis[len])//如果num比lis[len]选择的终点大，则可以放入lis，即新的终点。

                lis[++len] = num[i];

            else

            {

                int pos = lower_bound(lis,lis+len,num[i]) - lis;//注意lower_bound 的用法，lower_bound返回的是一个地址

                lis[pos] = num[i];//！！！

            }

        }

        printf("%d\n",len+1);//len是从0开始的，所以要加上1。

    }

}